Formula de Taylor

Fórmula de Taylor

La fórmula de Taylor permite el desarrollo de una función f(y) cuando se incrementa en una cantidad “h” o sea el desarrollo de la funciónf(y + h).

Veamos primero un caso particular: si .
Si f(y)=f(x+1)y = x+1 ; la función incrementada en x + 1 será: ; desarrollando cada término de la funcióntendremos:
a) 2(x+1)=
b) -5(x+1)=
c) 9(x+1)=
d) -12
Agrupando términos semejantes:

Analicemos ahora el caso de f(y) de grado 4.
; reemplacemos y por (y+h);entonces:

I-, desarrollando cada término de la función tendremos:
a)
b)
c)
d)
e) ; agrupando términos semejantes y los que tienen una misma potencia deh tenemos:

II+; resolviendo parcialmente los números combinatorios indicados y buscando derivadas sucesivas tendremos:
III-+
+
+
+; si observamos estos pasos, vemos que :
El 1er término es la misma función dada,
El 2do término es la suma de las primeras derivadas de la función,
El 3ertérmino es la suma de las segundas derivadas de la función,
El 4to término es la suma de las terceras derivadas de la función,
El 5to término es la suma delas cuartas derivadas de la función.
Todo esto lo podemos resumir como la expresión:
; si permutamos y por h ,tendremos:

………………………………..A
Esta es la fórmulade Taylor para el desarrollo de una función según una potencia de y. Es decir cuando la variable aumenta en una cantidad h.

Como f(y + h) = f(x) y + h = x y =x – h.
Sustituyendo y = x – h en la fórmula A resulta:

…………………………..B
Esta es la fórmula de Taylor alrededor de un punto.