Formulario algebra líneal

Método de Eliminación 1. 2. 3. Intercambiar 2 ecuaciones. Multiplicar una ecuación por una constante diferente de cero. Sumar un múltiplo de una ecuación a la otra.

Definición Matriz Una matriz A de m x n es un arreglo rectangular de mn números reales (o complejos) ordenados en m filas (renglones) horizontales y n columnas verticales: a11 A= a21 … ai1 … am1 Matriz Diagonal Una matriz cuadradaA = [aij], en donde cada término fuera de la diagonal principal es igual a cero, es decir, aij = 0 para i ≠ j, es una matriz diagonal. Matriz escalar Una matriz diagonal A = [aij], en donde todos los términos de la diagonal principal son iguales, es decir, a ij = c, para i = j y aij = 0 para i ≠ j, es una matriz escalar. Matrices Iguales Dos matrices de m x n, A = [aij] y B = [bij], son iguales siaij = bij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, es decir, si los elementos correspondientes son iguales Suma de Matrices Si A = [aij] y B = [bij] son matrices de m x n, la suma de A y B da por resultado la matric C = [cij] de m x n, definida por: cij = aij + bij (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) Multiplicación por un escalar Si A = [aij] es una matriz de m x n y r es un número real, el múltiplo escalar de A por r, rA, esla matriz y B = [bij] de m x n, donde: bij = raij (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) Multiplicando cada elemento de A por r seobtiene B a12 a22 … ai2 … am2 … … … … … … … … … … … … a1j a2j … aij … amj … … … … … … a1n a2n … ain … amn La j-ésima columna de A es: [a1j, a2j, …, amj] (1 ≤ j ≤ n) Fila (renglón) i La i-ésima fila de A es: [ai1, ai2, …, ain] (1 ≤ i ≤ m)

Columna j

Matriz Transpuesta Si A = [aij]es una matriz de m x n, la matriz A [a ij] de n x m, donde a
T ij t= T

= aji (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m)

Producto Punto El producto punto de los n vectores a y b es la suma de productos de las entradas correspondientes a1 A = a2 … an b1 y B = b2 … bn a●b = a1b1 + a2b2 + … + anbn =

Multiplicación de Matrices Si A = [aij] es una matriz de m x p y B = [bij] es una matriz de p x n, el productode A y B, es la matriz C = [cij] de m x n, definida como: Cij = ai1b1j +ai2b2j + … + aipbpj = Fila i(A) ● Columna j (B) = = cij

Propiedades de la suma de matrices Sean A, B, C y D matrices m x n a) b) c) d) A+B=B+A (Conmutatividad) A + (B + C) = (A + B) + C (Asociatividad) Existe una única matriz 0 de m x n, tal que A + 0 = A (Neutro Aditivo) Para cada matriz A de m x n, existe una única matrizD de m x n, tal que: A + D =0 o A + (-A) = 0

Propiedades de la multiplicación de matrices a) b) c) Si A, B y C son matrices de los tamaños apropiados A(BC) = (AB)C Si A, B y C son matrices de los tamaños apropiados, entonces A(B+C) = AB + AC Si A, B y C son matrices de los tamaños apropiados, entonces (A+B)C = AC + BC

Propiedades de la multiplicación por un escalar Si r y s son númerosreales y A y B son matrices, entonces: a) b) c) d) r(sA) = (rs)A (r + s)A = rA + sA r(A + B) = rA + rB A(rB) = r(AB) = (rA)B

Propiedades de la transpuesta Si r es un escalar y A y B son matrices, entonces a) b) c) d) (A ) = A T T T (A + B) = A + B T T T (AB) = B A T T (rA) = rA
T T

Inversa de una matriz Una matriz A de n x n es no singular (o invertible) si existe una matriz B de n x n tal queAB = BA = In B es inversa de A y A es inversa de B. Si la matriz tiene inversa, esta será única. Propiedades de una Matriz Inversa a) Si A es una matriz no singular, entonces A es no singular y (A ) = A -1 -1 -1 -1 -1 Dem. A es no singular si se puede encontrar una matriz B tal que A B = BA = In. Como A es no singular AA = A A = In, en -1 -1 consecuencia, B = A es una inversa de A-1, y como lasinversas son únicas, se concluye que (A ) =A. La inversa de la inversa de A no singular es A. Si A y B son matrices no singulares, entonces AB es no singular (AB) = B A -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 Dem. (AB)(B A ) = A(BB )A = AInA =AA = In y (B A )(AB)=B (A A)B=B InB=B B=In -1 -1 -1 Por lo tanto AB es no singular. Como la inversa de una matriz es única, se concluye que: (AB) =B A Si A es una...