Fracciones parciales y transformada z

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“EL LAPLACIANO EN COORDENADAS POLARES”

REALIZADO POR:
LISSET BERMEO
PAUL GUAMAN
WILLIAM LANDY
JOSE VALAREZO

ASIGNATURA:
MATEMÁTICA AVANZADA

PROFESOR:
ING. DIEGO CHACÓN

GRUPO:
1

FECHA:
21-10-2010

Objetivos:
* Deducir la ecuación que corresponde al Laplaciano en coordenadas polares
* Aplicar la ecuación obtenida en un problema práctico
* Emplear un softwarematemático para la resolución del problema previamente planteado.

Marco Teórico:

El Laplaciano en coordenadas polares

La relación entre las coordenadas polares en el plano y las coordenadas rectangulares están dada por:

x=rcosθ , y=r sen θ &
r2=x2+y2 , tanθ=yx

El primer par de ecuaciones realiza la transformación de coordenadas polares(r, θ) en coordenadas rectangulares (x,y); mientras que el segundo par de ecuaciones nos permite transformar coordenadas rectangulares a coordenadas polares. Esas mismas ecuaciones también nos permiten convertir el Laplaciano bidimensional:

∂2u∂x2+∂2u∂y2= ∇2u

A coordenadas polares. Aplicando la regla de la cadena:

∂u∂x= ∂u∂r∂r∂x+ ∂u∂θ∂θ∂x=cosθ∂u∂r-senθr∂u∂θ

∂u∂y= ∂u∂r∂r∂y+ ∂u∂θ∂θ∂y=senθ∂u∂r+ cosθr∂u∂θ

∂2u∂x2=cos2θ∂2u∂r2-2senθcosθr∂2u∂r∂θ+sen2θr2∂2u∂θ2+sen2θr∂u∂r+2senθcosθr2∂u∂θ (1)

∂2u∂y2=sen2θ∂2u∂r2+2senθcosθr∂2u∂r∂θ+cos2θr2∂2u∂θ2+cos2θr∂u∂r-2senθcosθr2∂u∂θ (2)

Sumando las ecuaciones (1) y (2) y simplificando se obtiene el Laplaciano de u en coordenadas polares:
∇2u=∂2u∂r2+1r∂u∂r+1r2∂2u∂θ2

Es importante revisar los métodos de resolución de ecuacionesdiferenciales parciales ya que para la resolución de los problemas de valores en la frontera de este tema el método de separación de variables nos lleva a la ecuación diferencial de Cauchy-Euler
La ecuación de Cauchy Euler es aquella ecuación diferencial lineal:

anxndnydxn+an-1xn-1dn-1ydxn-1+…+a1xdydx+aoy=g(x) donde los coeficientes an, an-1,… ,ao son constantes; la característica de este tipo de ecuaciónes que el grado k=n, n-1,…, 1,0 de los coeficientes monomiales xk coincide con el orden k de diferenciación:

anxndnydxn+an-1xn-1dn-1ydxn-1+…

Dada la ecuación de segundo orden: ax2d2ydx2+bxdydx+cy=0 se procede a hallar su respuesta homogénea; así mismo la ecuación no homogénea se resolverá mediante variación de parámetros; una vez que se haya determinado la función complementaria yc. Acontinuación se prueba una solución de la forma y=xm donde m es un valor que se debe determinar por lo que cada término de la ecuación se convierte en un polinomio en m multiplicado por xm, por ejemplo cuando se sustituye y=xm la ecuación de segundo orden se transforma en:

ax2d2ydx2+bxdydx+cy=amm-1xm+bmxm+cxm=(amm-1+bm+c)xm

Así y=xm es una solución de la ecuación diferencial siempre que m sea unasolución de la ecuación auxiliar

amm-1+bm+c=0, o bien am2+b-am+c=0 (1)
Se debe considerar tres casos en función de las raíces ya que pueden ser reales y distintas, reales e iguales o complejas; en el último caso apareciendo como un conjugado.

Caso 1: Raíces reales y distintas, entonces y1=xm1 & y2=xm2 forman un conjunto fundamental de soluciones. Por consiguiente, la solución generales

y=c1xm1+c2xm2

Caso 2: Raíces reales repetidas, entonces y=xm ; m=m1=m2 es la única solución; por lo que la solución general es:
y=c1xm+c2xmlnx

Caso 3: Raíces complejas conjugadas, si las raíces son un par conjugado m1=α+iβ, m2=α-iβ, donde α y β>0 son reales, entonces la solución es:
y=c1xα+iβ+c2xα-iβ
Pero cuando las raíces de la ecuación auxiliar son complejas, se escribe lasolución en términos de funciones reales; y usando las fórmulas de Euler:

xiβ=cosβlnx+isen(βlnx)
x-iβ=cosβlnx-isen(βlnx)

Por consecuencia, la solución general es:

y=xa[c1cosβlnx+c2sen(βlnx)]

Problema de Dirichlet:
Se desea resolver la ecuación de Laplace para la temperatura de estado estable u(r, θ) en un disco o placa circular de radio c cuando la temperatura en la circunferencia...
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