Función Lineal Y Cuadrática 1 1


Funciones Lineales

Probablemente el tipo de función más simple, y una de las más útiles, sea la Función Lineal.

Definición:
Se llama Función Lineal a toda función de la forma , donde m y n son números reales y .

La representación gráfica de la Función Lineal es una línea recta. Al valor de m se le denomina: pendiente, y al valor se le llama coeficiente de posición. La restricción en ladefinición de una función lineal implica que la gráfica no es una recta horizontal. Si , la función Lineal es una línea recta creciente, si , la función lineal es una línea recta decreciente. Hay dos tipos de rectas que no son gráficas de funciones lineales Una recta vertical con ecuación: no pasa la prueba de la recta vertical y no puede definir a una función. Si , en la fórmula anterior,entonces , la cual es una función constante y no es una función lineal sin embargo pasa la prueba de la recta vertical y define a una función

1. Representación de la Gráfica de una Función Lineal:


Función Lineal Creciente:

Pendiente Positiva.


Función Lineal Decreciente:

Pendiente Negativa.






Funciones Polinomiales:

Definición:
Se llama Función Polinomial de grado n, a toda función de laforma:



donde los son números reales, llamados coeficientes, , y n es un entero positivo. Grado de un polinomio, es el mayor de los grados de los monomios que lo componen

Anteriormente se estudiaron las funciones lineales de la forma , las cuales son funciones Polinomiales de grado . En lo que sigue estudiaremos las funciones Polinomiales de grado que se denominan Funciones Cuadráticas.Funciones Cuadráticas:

Definición:
Se llama Función Cuadrática a toda función de la forma . Donde a, b y c son números reales, llamados coeficientes, y .

1. La Gráfica de la Función Cuadrática:

Resumen:
La Gráfica de una Función Cuadrática de la forma: ,

1. Es una parábola que se abre hacia arriba sí , en dicho caso posee un valor extremo mínimo.
2. Es una parábola que se abre hacia abajo sí , endicho caso posee un valor extremo máximo.
3. Tiene un Eje de Simetría, que es una recta vertical, cuya ecuación es .
4. Tiene un valor extremo dado por , de donde se obtiene el punto de intersección entre la parábola y el eje de simetría, denominado Vértice de la Parábola, cuyas coordenadas son .
5. El recorrido es si ; y si , donde
6. Es más angosta que la gráfica de , si .
7. Es más ancha quela gráfica de , si .
8. Corta al eje vertical en el Punto de Coordenadas , ya que .
9. La Función Cuadrática de la forma puede expresarse en la forma , siendo , completando el cuadrado de binomio, donde el punto: es el vértice de la parábola.
10. NO es una función Inyectiva.






Ejemplo: Dada la función cuadrática . Encontrar la ecuación del eje de simetría, las coordenadas del vértice, y elrecorrido.
Solución:
En este caso , y , entonces, el eje de simetría es , y las coordenadas del vértice son , donde o sea . El recorrido es el intervalo , pues .

2. Intersecciones con el Eje Horizontal:

Se pueden hallar los puntos, en el caso de existir, donde la gráfica de la función cruza o toca al eje horizontal, factorizando o utilizando la Formula Cuadrática para resolver la ecuaciónCuadrática , cuya formula es . El Promedio de las intersecciones, de existir con el eje horizontal es , que es el valor de la abscisa del valor extremo.

Proposición
Si , luego existen y donde son raíces de entonces la función se puede factorizar como

Ejemplo: Como las raíces de la función cuadrática son y , entonces su factorización es

Proposición
Las raíces de la función verifican lassiguientes propiedades:
,
Demostración:
Sea:
Sea:

Ejercicio. Dada la función cuadrática . Determine:
a. El eje de simetría y el vértice de la función cuadrática.
b. En que puntos la función intercepta a los ejes de coordenadas.

3. APLICACIONES DE OPTIMIZACIÓN UTILIZANDO LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

1. Se ha descubierto estadísticamente que el número de accidentes en la carretera Stgo. - Viña,...