Función seno

FUNCIÓN SENO

Sea la circunferencia unitaria (la circunferencia con centro en el origen y radio 1) cuya ecuación en coordenadas rectangulares es:
x2 + y2 = 1
Si a cada número real x le asociamos uno y solo un punto P (u,v) sobre la circunferencia unitaria, entonces la coordenada v de P define para cada x(R, una función a la cual se le llamará seno de x , en notación sen(x):

Funciónsen(x) = ((x,v): x(R, v= sen(x)(

DOMINIO Y RANGO

El dominio de la función seno es el conjunto de todos los reales, y el rango toma valores en el intervalo cerrado de extremos -1 y 1.

Demostración:

Sea el sen( = b/c con c = (a2+b2
Tomando valor absoluto y con |b| ≤ (a2+b2 = c, resulta:

|sen(| = |b| / |c| = |b|/ c = |b| / (a2+b2 ≤ 1 luego:

|sen(| ≤ 1 ( -1 ≤ sen( ≤ 1

PERIODICIDAD DE LA FUNCIÓN SENO

Diremos que una función real ( es periódica de periodo a ( 0 si
((t) = ((t+a) para todo real t.

Ejemplo:

• ((()= sen( es periódica de periodo 2(, pues sen( = sen(( + 2()

Ahora bien el sen(/2 es 1 y el seno no vuelve a ser 1 hasta después deuna vuelta completa, cuando el ángulo valga 5(/2, esto significa que la función es periódica pues sus valores se repiten cada 2(.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

• El valor máximo del seno: 1, alcanzado cuando (= (/2 + 2( ( k; k((
• El valor mínimo del seno: -1, alcanzado cuando (= -(/2 + 2( ( k; k((

CEROS DE LA FUNCIÓN SENO

Los ceros son los reales del dominio para los cuales lafunción se anula.
Recordando que los valores de x para los que se cumple: sen(x) = 0, son los reales: x = n(; n((. Luego estos son los ceros de la función.

Algunos de ellos son:

…, -3(, -2(, -(, 0,(, 2(, 3(,…

APLICACIONES DE LA FUNCIÓN SENO.

Hay muchos procesos de la naturaleza o creados por las personas que son repetitivos o periódicos. Esta periodicidad esta presente ensituaciones de la vida diaria donde se repiten valores de algunas variables a determinados intervalos. Por ejemplo: en el nivel del agua de las mareas (pasa de la pleamar o marea alta a la bajamar o marea baja), en los latidos cardíacos, en la corriente eléctrica utilizada en nuestros hogares, en las ondas sonoras que están formadas por oscilaciones periódicas de las moléculas de aire. En variosde esos procesos o fenómenos es frecuente encontrar funciones como las siguientes:
• V=100 sen (130(t), V (en voltios) indica voltaje producido por un generador eléctrico, t tiempo en segundos.

• x=A sen ((t + (0), (x=A cos ((t + (1)), ecuación que rige el movimiento oscilatorio de un sistema masa-resorte donde la única fuerza que actúa es la de restauración del resorte: (=( k/m, k unaconstante del resorte que depende de su elasticidad, m es la masa; t el tiempo; es constante (la amplitud de la oscilación); (0, (1 la fase; w es la frecuencia angular. La x es la distancia de la masa a su posición de equilibrio.

GRAFICAS DE LA FUNCIÓN SEN(X)

Observe detenidamente las siguientes gráficas.

[pic]

Función y= sen(x)
Observe las gráficas que se presentan a continuación yrealice un análisis de lo que pasa en cada una de ellas, cuando C(0

• y =((x) + C

[pic]

y = sen (x) + (/2

[pic]

y = sen(x) + 3

¿Qué paso con la gráfica? ¿Se desplazo? ¿En cuantas unidades lo hizo?

• y =((x) - C

¿Podrá notar alguna diferencia entre estas gráficas con respecto a la función sen(x)?

y = sen(x) - (

¿Pasará lo mismo en esta gráficaqué en la anterior?

¿Se mueven en la misma dirección?

y = sen(x) - 2

[pic]

Función y = sen(x)

y = sen (x) + (/2
y = sen(x) + 3
y = sen(x) - (
y = sen(x) - 2

¿Qué diferencia existe entre las funciones a las que se les sumó una constante con respecto a las que se les restó?

¿Qué ocurrió con la función sen(x)? ¿Porqué algunas bajaron y otras subieron?

¿Tiene algo...