Funcion continuas

Introducción
La idea intuitiva de lo que conocemos por trazo continuo es el dibujo de una línea sin saltos, es decir, el trazo de un lápiz sin despegar la punta del papel.

Esta idea se traspone al gráfico de una función y de esto se deduce la definición de continuidad de una función.

1. DEFINICIÓN
En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, parapuntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funcionesreales de una variable real.

2. FUNCIONES CONTINUAS
I .Continuidad
Las funciones continuas constituyen una clase fundamental para las operaciones del análisis matemático. Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfico es continuo, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel, como en la figura 1.1 y no como en la figura1.2.

Función continúa
Figura 1.1

Función discontinua
Figura 1.2

Una función continua provee la expresión matemática de la situación muy frecuente de que a «incrementos pequeños» de la variable independiente corresponden «incrementos pequeños» de la variable dependiente. Ejemplos de esta situación vienen dados por las leyes que gobiernan el movimiento de los cuerpos, leyes que a menudoestán dadas por fórmulas del tipo s = f(t) (que expresan la distancia S dependiente del tiempo t). Debido a que el tiempo y la distancia «son continuos», una ley de movimiento, s = f(t), establece entre ellos una relación continua caracterizada por el hecho que a un incremento pequeño del tiempo corresponde, como mencionamos antes y reiteramos aquí, un incremento pequeño de la distancia.
Siconsideramos una función arbitraria y = f(x) y un valor particular C de la variable independiente, entonces la función refleja un «proceso continuo en el punto C» siempre y cuando a valores X que difieren poco de C correspondan valores de la función f(x) que difieren poco del valor f(c). En otras palabras, si el incremento x-c de la variable independiente tiende a 0, entonces el incremento f(x) -f(c)de la función también tiende a cero.

Podemos formular lo anterior expresando que
f(x) - f(c) → 0 cuando x - c → 0
o bien escribiendo que
lim f(x) = f(c)
x→c

Esta relación constituye la definición matemática de continuidad de la función en el punto C. Es decir,
Definición: La función f(x) es continua en c si y sólo si lim f(x)= f(c) x→c |

1.2 Observaciones sobre el concepto de continuidad

Si analizamos la definición de continuidad vemos que para que la función f(x) sea continua en el punto c se requiere que las siguientes tres condiciones sean satisfechas:
(i) La función debe estar definida en el punto, i.e., c debe pertenecer al dominio de f, de lo contrario la expresión « f(c)» carece desentido;
(ii) El límite de la función f(x) cuando x tiende a c debe existir, i.e., debe existir un número real L tal que lim f(x) = L, en caso contrario, la expresión «lim f(x) = f(c)» no tiene ningún
x→c x→c
sentido;

(iii) El límite L debe ser igual al valor de la función en el punto c, i.e., debe ser L =f(c), de modo que, si en la definición de límite ponemos L = f(c), tenemos que, dado ε > 0 existe
δ >0 tal que
Si׀c-x׀ < δ entonces | f(x) - f(c) | < ε

(La restricción x ≠ c impuesta en la definición de límite deja de ser necesaria puesto que la desigualdad | f(x) - f(c) | < ε es automáticamente satisfecha para x = c).

Como ejemplo, analizaremos la continuidad...