funcion de varias variables

1
Funciones de Varias Variables
En este capítulo trabajaremos con funciones cuyos valores son reales, dependerán
de más de una variable. Por ejemplo el volumen de un paralelepípedo depende de
las dimensiones de sus tres lados concurrentes es decir de su largo, ancho y altura ,
estos valores podemos escribir como una terna donde cada terna representa uno de estos
lados, entonces la funciónque determina el volumen del paralelepípedo será. f : R3 Ñ R
definido por f pa, b, hq “ abh, donde a, b, h son las dimensiones del paralelepípedo.
Definición 1. Una función de varias variables es una correspondencia de un conjunto
A de vectores a un conjunto B de números reales, tal que para cada a P A existe
uno y solo un elemento f paq P B que denominamos su correspondiente. Donde al
conjuntoA lo llamamos dominio de la función f y al conjunto B lo llamamos imagen
o contradominio de f . Así f : U Ď Rn Ñ R es una función que asocia a cada elemento
de U Ă Rn un número real bien determinado. esto es si x “ px1 , x2 , ..., xn q P U entonces
f pxq “ f px1 , x2 , ..., xn q P R, si denotamos por:
domf al dominio de la función f , así domf “ tx P U / z “ f pxqu
rangf al rango de lafunción f, así ; rangf “ tz P R{z “ f pxq , x P U u
Ejemplo 1. La función f : R2 Ñ R definida por f px, yq “ x2 ` y 2 asocia a cada
par ordenado px, yq P R2 con el número x2 ` y 2 , esto es, si px, yq “ p3, 2q se tiene
f p2, 3q “ 22 `32 “ 13, así la imagen de p2, 3q bajo f es 13. y el dominio de f es todo R2 y
el rango es el conjunto de los números reales positivos, puesto que f px, yq “ x2 `y 2 ě 0El rango de f podemos escribir como:
(
rangf “ z P R{z “ x2 ` y 2 , px, yq P R2
a
Ejemplo 2. La función f : R3 Ñ R definida pora px, y, zq “
f
4 ´ x2 ´ y 2 ´ z 2
3
2 ´ y 2 ´ z 2 . De este modo
asocia a cada terna px, y, zq P R con el número real 4 ´ x
?
si px, y, zq “ p0, 2, 0q se tiene f p0, 2, 0q “ 4 ´ 02 ´ 22 ´ 02 “ 0, así la imagen de
p0, 2, 0q bajo f es 0 y el dominio de f es:
(domf “ px, y, zq P R2 {4 ´ x2 ´ y 2 ´ z 2 ě 0

Matemáticas 2
Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

y el rango de f es el conjunto
!
)
a
rangf “ w P R{ w “ 4 ´ x2 ´ y 2 ´ z 2 , px, y, zq P R3
x2 ´ y 2 ´ z 2 ´ w 2
Ejemplo 3. La función f : R Ñ R definida por f px, y, z, wq “ 2
,es
x ` y 2 ` z 2 ` w2
una función de cuatro variables que tiene como dominio a todo el espacio R4 menos el
origen p0, 0, 0, 0q
a
Ejemplo 4. La función f : R2 Ñ R definida por f px, yq “ 4 ´ x2 ´ y 2 , es una
función cuyo dominio es el conjunto
(
(
U “ px, yq P R2 {4 ´ x2 ´ y 2 ě 0 “ px, yq {x2 ` y 2 ď 4
4

que corresponde al conjunto de puntos del circulo x2 ` y 2 ď 4 incluyendo sufrontera, como se muestra en la figura a), y el rango de esta función es el conjunto
tz P R{ 0 ď z ď 2u .
Ejemplo 5. El dominio de la función f px, yq “ ln xy es el conjunto de valores en la
cual el producto xy sea positiva, es decir xy ą 0, restricción que impone la función
logaritmo, pues ésta existe para valores positivos de su argumento. Veamos:
xy ą 0 si px ą 0 ^ y ą 0q _ px ă 0 ^ y ă 0qentonces el dominio será la unión de los
conjuntos U1 “ tpx, yq {x ą 0, y ą 0uy U2 “ tpx, yq {x ă 0, y ă 0u que corresponde a
los puntos del primer y tercer cuadrante del plano XY (ver figura b)).

Y

Y

X

2 X

(a) dominio del ejemplo (4)

(b) dominio del ejemplo (5)

x
, tiene como
x`y
x
dominio el conjunto de puntos px, yq que verifica ´1 ď x`y ď 1, restricción impuesta
por lafunción arcsen cuyo dominio (rango de la función seno) es el intervalo r´1, 1s ,
así:
ˇ
ˇ
ˇ x ˇ
2
2
ˇ
ˇ
ˇ x ` y ˇ ď 1 ô |x| ď |x ` y| ô x ď px ` yq
Ejemplo 6. La función f : R2 Ñ R definida por f px, yq “ arcsen

resolviendo se tiene
$
& y ě 0 ^ y ě ´2x
o
´
y py ` 2xq ě 0 ô
,
%
y ď 0 ^ y ď ´2x
Matemáticas 2
Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

2

UNIVERSIDAD...