Funcion gamma

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD T

El resultado ofrecido en el teorema anterior nos proporciona la base del desarrollo de procedimientos para hacer inferencias con respecto a la media ( de una población normal con una varianza (2 . En este caso el teorema 7.1 nos dice que [pic] tiene una distribución normal estándar. Cuando se desconoce ( se le puede estimar mediante [pic] y la expresión[pic]

nos dará como base para el desarrollo de métodos de inferencias con respecto a ( .

Demostraremos que la distribución de probabilidad de [pic] esta dada por una función de densidad de probabilidad conocida como distribución [pic] de Student con n 1 grados de libertad . La definición general de una variable aleatoria que posee unadistribución [pic] de Student ( 0 simplemente distribución t), es la siguiente:

DEFINICION: Sea Z una variable aleatoria normal estándar y sea [pic]una variable aleatoria ji - cuadrada con ( grados de libertad.
Entonces si [pic] y [pic][pic]son independientes,

[pic]

se dice que tiene una distribución t con ( grados de libertad.Si Y1, Y2, ..., Yn es una muestra aleatoria de una población normal con media ( y varianza (2, se puede aplicar el teorema 7.1 para demostrar que [pic] tiene una distribución normal estándar. El teorema 7.3 nos dice que [pic] tiene una distribución [pic]con [pic] grados de libertad y que Z y [pic] son independientes (ya que [pic]los son). Por lo tanto, por la definición 7.2[pic]

tiene una distribución t con (n-1) grados de libertad.

La ecuación para la función de densidad t no se presentara aquí, pero se dan algunas indicaciones para su obtención en los ejercicios del final del capitulo. Como la función de densidad normal estándar, la función de densidad t es simétrica con respecto a cero, además, para [pic]> 1, E( T ) =0 y para [pic]> 2,V ( T ) = [pic]/ ([pic] - 2 ). Así vemos que una variable aleatoria con una distribución [pic] tiene el mismo valor esperado que una variable normal estándar. Sin embargo, una variable aleatoria normal estándar siempre tiene una varianza de 1, mientras que la varianza de una variable aleatoria con una distribución [pic] siempre es mayor que 1.

En al figura 7.2 se muestran las gráficasde una función de densidad normal estándar y de una función de densidad t. Nótese que ambas funciones de densidad son simétricas con respecto al origen, pero que la densidad t tiene mas masa probabilística en las colas.
Normal
7.2estándar
Una comparación entre las funciones
de densidad normal estándar y t t

0

valores de tales que P ( T > [pic]( ) = ( para ( =0.100,0.050,0.025,0.010 y 0.005
se dan en la tabla 5 delapéndice III . Por ejemplo si una variable aleatoria tiene una distribución [pic] con 21 grados de libertad (g.1.), [pic]0.100 se encuentra al buscar en el renglón encabezado por 21g.1. y en la columna con [pic]0.100 . aplicando la tabla 5, vemos que [pic]0.100 = 1.323. Por lo tanto, para 21g.1. la probabilidad de que una variable aleatoria con distribución [pic] sea mayor que 1.323 es 0.100.DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD F

Supóngase que deseamos comparar las varianzas de dos poblaciones normales basados en la información contenida en muestras aleatorias independiente de las dos poblaciones. Supóngase que una muestra aleatoria contiene n1 variables aleatorias distribuidas normalmente con una varianza común [pic] y que la otra muestra aleatoria contiene [pic] variables...