Funciones de orden exponencial

FUNCIONES DE ORDEN EXPONENCIAL

Definición.- La función F: [0,+ ∞> R es de orden exponencial si existen constantes c>0 y α tal que F(t) ≤ce^█( @αt),∀ t≥0.

Ejemplo.- Toda función constante es de orden exponencial. En efecto:
Sea F una función constante ᴲ c > 0 tal que F(t) ≤ c,∀ t≥0,entonces F(t) ≤ ce^█( @0t) .
Es decir que F es de orden exponencial haciendo α = 0.

Ejemplo.- Determinar si la función F(t) = e^(at ) cosbt,es de orden exponencial.
Solución
Como cosbt ≤1, ∀ t≥0, entonces e^at cosbt ≤ e^at,∀ t≥0 de donde:
e^at cosbt ≤ e^at F(t) ≤e^at
Luego F(t) = e^at cosbt es de orden exponencial tomando c= 1 y α=a

Propiedades
1.- Si F: [0,+ ∞> R es una función seleccionablementecontinua en : [0,+ ∞>, entonces:
I) Si la función F es de orden exponencial siempre que existe α E R tal que
Lim (F(t))/e^αt = 0s.
II) La función F noes de orden exponencial si: Lim (F(t))/e^αt = 0s.
Ejemplo: Determinar si la función F(t) = t^n s es de orden exponencial para n E Z^+, ∀ t≥0.Solución
Lim (F(t))/e^αt =. Lim t^n/e^αt , aplicando la regla de L´Hospital
= Lim t^n/e^αt = (n(n-1)(n-2)…2.1)/α^n Lim 1/e^αt = n!/α^n Lim 1/e^αt =n!/α^n (0)=0, ∀α > 0
Por lo tanto F(t) = t^n es de orden exponencial ∀ t ≥0

Teorema
Si la función F: [0,+ ∞> R, es seleccionablemente continua yde orden exponencial α, entonces ᴲ F(s) = L{f(t)}, ∀ s > a.
Demostración
Por hipótesis se tiene F(t) es de orden exponencial α ᴲM >0, tal que