Funciones de varias variables

Páginas: 85 (21142 palabras) Publicado: 16 de junio de 2013
Las funciones
de varias variables
Josep Freixas Bosch
P01/75005/00103

© FUOC • P01/75005/00103

Las funciones de varias variables

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Indice

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Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .

6

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1. Contenidos basicos de las funciones de varias variables . .

7

1.1. Ejemplos de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Algunas definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3. Entornos. Conjuntos abiertos o cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .

11

1.3.1. Bolas y entornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.5. Mapas de alturas y curvas de nivel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.7. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2. Diferenciabilidad con varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.3. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.3.1. El vector gradiente y las derivadas direccionales . . . . . . . .

34

2.4. Derivadas parciales de ordensuperior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.5. La regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.7. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3. Extremos de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.1. Extremos locales o relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.2. Extremos absolutos sobre conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.3. El m´ todo de los multiplicadores de Lagrange . . . .. . . . . . . . . . . . .
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58

3.4. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Ejercicios de autoevaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Bibliograf´a . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Introduccion

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Las funciones de una variable, que se han presentado en los tres ultimos
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modulos, son una idealizacion conveniente de un gran numero de situaciones, pero si queremos pensar en ejemplos de funciones que est´ n
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