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El concepto de c. es el resultado de una de las más recientes abstracciones matemáticas y su utilidad va progresivamente aumentando, puesto que permite planteamientos comunes de problemas queanteriormente aparecían inconexos.
Un concepto preliminar es el de clase, en sentido de la teoría de conjuntos (v.). Debemos limitarnos a indicar intuitivamente, que una entidad compuesta por diversoselementos es una clase cuando existe un criterio que permite distinguir si un objeto pertenece o no a esa entidad. Una formulación más abstracta del concepto de clase exige recursos muy superiores.Una c., C, es una estructura matemática determinada por los elementos siguientes: a) una clase, OC, llamada clase de los objetos de C cuyos elementos son los objetos de la c.; b) una clase, Hom (3,llamada clase de los morfismos de C cuyos elementos son los morfismos de la c.; c) para cada par de objetos, A, B, de OC, un conjunto, Hom (A, B), denominado conjunto de los morfismos de A en B (paraestos morfismos se dice que A es el objeto inicial y B es el objeto final); este conjunto puede ser el conjunto vacío, es decir, hay objetos entre los que no hay ningún morfismo; d) para tres objetoscualesquiera, A, B y C, de OC, una aplicación (V. ÁLGEBRA; CORRESPONDENCIAS) de Hom (B, C) X Hom (A, B) en Hom (A, C), que se representa multiplicativamente, y que se denomina producto de morfismos, yque verifica las propiedades siguientes (siempre que eXIstan los productos correspondientes):
1) a(bc)=(ab)c;
2) para todo objeto, A, existe un elemento, IA, del conjunto Hom (A, A), talque
b1A=b, lAC=c
Para cualesquiera morfismos b y c tales que esté definido el producto respectivo; estos morfismos se denominan morfismos unidad o simplemente unidades.
Observemosque en la definición de c. cada morfismo determina unívocamente su objeto inicial y su objeto final. Los ejemplos más significativos de c. son los siguientes: a) la c. de los conjuntos: los objetos...