Funciones inversas

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS.

COSECANTE: La cosecante del ángulo α es la secante del complemento de α. En efecto: Construyamos un ángulo de α En posición normal y prologuemos su lado terminal hasta que se corte con la recta de la tangente a la circunferencia En el punto de coordenadas (0,1); además desde el punto de corte M del lado terminal, con la circunferencia tracemos el segmentoMN perpendicular al eje de X. Los triángulos OMN y OM´ N´ son semejantes, pues ON’ ≡ OM por ser radios de la circunferencia y, además, ángulos α congruentes a ángulos α´ por ser alternos entre paralelas.
Ahora bien, como cosc α la definiremos como el cociente entre el radio (r) y la ordenada (y) luego:

Para los ángulos del III y IV cuadranteprolongamos su lado terminal hasta que se corte con la recta tangente que pasa por (0,1). La longitud desde el origen hasta el punto de corte del lado terminal con la recta L. Es el valor de la cosecante del ángulo α

RELACIÓN COSECANTE COMO FUNCIÓN: Efectuaremos nuestro grafico, analizando En los cuatro cuadrantes tomados de dos en dos. Recordemos que los valores de la cosecante para cada ángulo, sonla distancia del origen al punto de corte del lado terminal con la recta tangente al círculo goniométrico En el punto (0,1): L.
Es necesario utilizar un compas para trasladar su longitud hasta ubicarla perpendicularmente sobre el eje de X.

☺Observaciones: La cosecante de 0º y 180º no están definidas, debido a que el lado terminal de estos ángulos nunca se corta con la recta tangente a lacircunferencia En el punto (0,1) .
I Cuadrante: La curva es decreciente y su signo es +.
II Cuadrante: La curva es creciente y su signo es +.
III Cuadrante: La curva es creciente y su signo es -.
IV Cuadrante: La curva es decreciente y su signo es -.

ANÁLISIS:
La relación F(x) = coscec x, la definiremos como función de la siguiente forma:
F: R - {k π \ k є Ζ} → R, tal que: F(x) = cosc xEn efecto F (x). = cosc x es la función con dominio R- {k π \ k є Ζ} , condominio el conjunto de los reales y rango (-∞, -1] U [1.∞).
La función F(x) = cosc x no es una función inyectiva ya que F ( π4 ) = (3π4); tampoco es una función sobreyectiva, pues el condominio no es igual al rango.
El periodo de la función cosecante es [2π].


SECANTE:La palabra secante viene del latín “secans” que significa corte.
Construyamos un ángulo α En posición normal y prologuemos su lado terminal hasta que se corte con la recta tangente a la circunferencia En el punto de coordenadas (1,0); además, desde el punto de corte M del lado terminal con la circunferencia tracemos el segmento MN perpendiculares al eje de X. Los triángulos OMN y OM’N’ sonsemejantes pues OM ≡ ON por ser radios de la circunferencia y, además α es común a ambos triángulos.

Ahora bien, definimos sec α como el cociente entre el radio (r) y la abscisa (x), por lo tanto:


Para los ángulos del II y III cuadrante prologamos su lado terminal hasta que se corte con la recta tangente (T) que pasa por (1,0). La longitud desde el puntode corte es el valor de la secante para cada ángulo.

RELACIÓN SECANTE COMO FUNCIÓN: Efectuaremos nuestro grafico; Para el I cuadrante tomamos la longitud de los segmentos marcados con rojo en la figura y haciendo uso de un compas los trasladamos sobre su ángulo respectivo. Observado a medida que el ángulo crece de 0 a π2 , los valores de la secante varían entre el infinito; por consiguiente,En este cuadrante la curva es creciente y sus valores +.
En el II cuadrante procedemos En forma análoga. La curva En este intervalo es creciente. En efecto, cuando el ángulo varía π2 a π, los respectivos valores de la cosecante crecen hasta -1.
Para los ángulos del III cuadrante tomamos los segmentos marcados con rojo En el circulo goniométrico, trasladándolo sobre el eje de X. L a curva...