Funciones Inversas

FUNCIONES INVERSAS, TRIGONOMÉTRICAS
E HIPERBÓLICAS
Contenido


FUNCIÓN INVERSA 2
FUNCIÓN BIUNÍVOCA: 3
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 5
FUNCIÓN INVERSA DEL SENO 5
FUNCIÓN INVERSA DEL COSENO 6
FUNCIÓN INVERSA DE LA TANGENTE 8
FUNCIÓN INVERSA DEL COTANGENTE 9
FUNCIÓN INVERSA DEL SECANTE 10
FUNCIÓN INVERSA DEL COSECANTE 11
FUNCIONES HIPERBÓLICAS 12
SENO HIPERBÓLICO: 13Derivadas 13
COSENO HIPERBOLICO 14
TANGENTE HIPERBÓLICO 14
Derivada 15
.Inversa 15
GRAFICA DE LAS FUNCIONES SENO, COSENO Y TANGENTE 15
COTANGENTE HIPERBÓLICA 16
SECANTE HIPERBÓLICA 16
COSECANTE HIPERBÓLICA 17
GRAFICA DE LAS FUNCIONES COSECANTE, COTANGENTE Y SECANTE 17
Bibliografía: 18

CAPITULO 6

Introducción: con el presente trabajo se busca dar una breve idea yprofundizar en conocimientos, en cuanto a lo que trata la función inversa, así como también funciones, derivadas e integrales trigonométricas inversas y de igual manera las funciones hiperbólicas.
FUNCIÓN INVERSA

También llamadas recíprocas. Se define que una función f es una función uno a uno, si y solo si cada elemento del rango de f está asociado con exactamente a un elemento de su dominio x. Engeneral, una función f es uno a uno si cada elemento del recorrido de la función es imagen de un único elemento del dominio.
Esta propiedad es necesaria para que la “regla de inversión” sea una función. Es recomendable antes de tratar de hallar la inversa de una función, determinar si la función dada es uno a uno.
Gráficamente una función es uno a uno si solo si ninguna recta horizontal corta sugráfica más de una vez.
  f(g(x)) para cada x en Y
g(f(x))   para cada y en X
Es decir:
f(f -1(x))= x
f -1(f(x)) = x
O sea, a la función inversa de f, se le llama  f -1, y se cumple que: 

Si f(a)=b entonces   f -1(b)=a
Como consecuencia se dan las relaciones siguientes:

(f -1 º f)(x)=x                    (f º f -1)(x)=x

Si tenemos una función f y su inversa f-1, la representacióngrafica de f-1 seria simétrica a la función f con respecto a la función identidad Ix=x por lo tanto su gráfico se tiene por reflexión con respecto a la recta Ix=x.

FUNCIÓN BIUNÍVOCA:
Para determinar la inversa de una función esta debe ser biunívoca.
Toda función monótona es una función biunívoca.
∀a y b ∈Df
a≠b
f(a)≠f(b)
Para encontrar una función biunívoca:
1) Se determina quela función sea biunívoca en todo el dominio.
2) Despejar x en términos de y. x=g(y)
y=f(x) ∀x ϵ Df
x=g(y) ∀y ϵ Rf
3) Cambiar de la expresión x=g(y) cambiar y por x, y x por y. y la función asi obtenida, se llamará la inversa de x.
4) Verificar que:
f(f -1(x))= x ∀x ϵ Df-1 o ∀x ϵ Rf
f -1(f(x)) = x ∀x ϵ Df o ∀x ∈ Rf-1
El dominio de la función inversa f-1 es el rangode f y, recíprocamente, el rango de f-1 es el dominio de f. 
Para determinar si una función tiene inversa tenemos que observar sus pares y ver si es inyectiva. Esto es muy fácil de hacer cuando la función viene dada por una lista de pares. Cuando la función viene definida por una propiedad, todo se complica y no siempre tendremos suficientes conocimientos matemáticos para determinar talcircunstancia 

Derivada de la función inversa
y=f(x) x=f(y)
dxdy=1dydx
Ejemplo: Hallar la función inversa de:

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Las funciones trigonométricas inversas se utilizan en cálculos de ángulos de un triangulo a partir de la medición de sus lados. Ninguna de las 6 funciones trigonométricas básicas tiene inversa debido a que son funciones periódicas y por lo tanto noson inyectivas pero restringiendo los dominios se puede hallar la inversa
FUNCIÓN INVERSA DEL SENO
y = sen x (haciendo la simetría con respecto a la recta y = x, del gráfico del seno)
De inmediato del gráfico confirmamos que se trata de una relación inversa y no de una función, pues ∀ x ∈ Dom R−1 existen varios y con y ∈ R.

El arcoseno esta definido como la funcion inversa del seno de un angulo....