funciones trigonometricas

EL PROBLEMA DEL CABALLERO DE MERÉ: NACIMIENTO DE LA PROBABILIDAD
Conocemos bien cuál fue el curioso comienzo del estudio matemático del azar. Se debe al matemático, filósofo y escritor francés Blas Pascal (1623-1662). De la riqueza intelectual y humana de este hombre da idea el hecho de que fue el inventor de la primera máquina sumadora, a la edad de 19 años, para ayudar en el trabajo a supadre, recaudador de impuestos.
En el s. XVII los juegos de azar eran la principal diversión de la alta sociedad francesa. Antoine Gombard, Caballero De Meré, un experto jugador, planteó a Pascal dos problemas sobre apuestas. En 1654, Pascal y Pierre de Fermat (1601-1665) mantuvieron abundante correspondencia sobre ambos problemas. Las soluciones que entre los dos encontraron sentaron las bases delCálculo de Probabilidades y la Teoría de Juegos, dos ramas de las Matemáticas con grandes aplicaciones.
A continuación se enuncian estos dos famosos problemas. Antes de conocer su solución, conviene que los pienses sin ayuda:
LA APUESTA INTERRUMPIDA.- Los jugadores A y B apuestan a cara o cruz, tirando una moneda. El jugador que primero llega a cinco puntos gana la apuesta. El juego se interrumpeen un momento en que A tiene 4 puntos y B tiene 3 puntos.
APUESTAS VENTAJOSAS.- El Caballero De Meré sabía que era ventajoso apostar por el resultado de obtener al menos un seis en una serie de 4 lanzamientos de un dado. Entonces De Meré argumentó que debiera ser igualmente ventajoso apostar por el resultado de obtener al menos un doble seis en una serie de 24 lanzamientos con un par de dados.Para ello había razonado “por regla de tres”: si en 4 lanzamientos se apuesta por un resultado específico entre 6 posibles, es lo mismo que si en 24 lanzamientos se apuesta por un resultado específico entre 36 posibles, ya que 6 : 4 = 36 : 24.  La experiencia no corroboró la suposición de De Meré.
Soluciones a los problemas del Caballero De Meré:
 
LA APUESTA INTERRUMPIDA.
Con frecuencia sepropone: "si A tiene 4 puntos y B tiene 3 puntos, repártase la apuesta en proporción de 4 a 3, a favor de A"; es decir, de forma directamente proporcional a los puntos de cada jugador. Esta solución tiene la lógica de que A, el jugador con más puntos, recibe más dinero pero... ¿la proporción justa es esa de 4 a 3? 
Parece que lo más justo sea tener en cuenta cuántas veces ganaría A y cuántas vecesganaría B, en el caso de que se continuase el juego, repitiéndose muchas veces. Empecemos por expresar las formas posibles en que puede continuar el juego. Y lo haremos mediante un diagrama de árbol:                                                             
                            
                  ---> gana A ---> A: 5 -B: 3 fin (A es el ganador final)
Situación inicial            
 A:4-B:3                                     --> gana A  --->  A: 5 - B: 4 fin (A es el ganador final)
                  ---> gana B ---> A:4-B:4                   
                                                             --> gana B --> A:4 - B:5 fin (B es el ganador final)           
                                                     
Es decir: la mitad de las veces ganaría A en elsiguiente lanzamiento; la cuarta parte de las veces ganaría A tras dos lanzamientos; y la cuarta parte restante de las veces ganaría B tras dos lanzamientos. En resumen: A ganaría tres de cada cuatro veces y B ganaría una. El reparto más justo es de 3 a 1, a favor de A

APUESTAS VENTAJOSAS.- 
Para empezar, el Caballero De Meré sabía que es ventajoso apostar por el resultado de obtener al menos unseis en una serie de 4 lanzamientos de un dado. Lo sabía por experiencia, pues era un jugador profesional. ¿Podemos nosotros saberlo razonadamente?. En efecto:
Al lanzar 4 veces un dado, ¿cuántos resultados diferentes se pueden obtener?: 6 para cada lanzamiento; para una serie de  los 4 lanzamientos. . . 6 x 6 x 6 x 6 = 1296 resultados.
De esos 1296 resultados, ¿cuántos contienen al menos un...