Funciones y graficas

1. Funciones y Graficas:
1.1. Función:
Una función f de un conjunto D a un conjunto E es una correspondencia que asigna exactamente un elemento y de E a cada elemento x de D.
El elemento y de E es el valor de fen x (o la imagen de x bajo f) y se denota con f(x), que se lee “f de x”. El conjunto de D es el dominio de la función. El rango de f es el subconjunto R de E formado por todos losvalores posibles f(x) para x en D. Observarás que algunos elementos del conjunto E quizá no estén en el rango R de f.
Considera el diagrama de la figura 1. Las flechas curvas indican que los elementos f(w), fz, f(x) y f(a) de E corresponden a los elementos w, z, x y a de D. A cada elemento de D hay asignado exactamente un valor de función en E; sin embargo un elemento distinto de D, como w y z en lafigura 1. Puede tener el mismo valor en E.
Figura 1. |

Los símbolos
Df E, f:D→E, y
Significan que f es una función de D a E y decimos que f transforma a D en E, un principio las notaciones f y f(x) pueden ser confusas. Recuerda que f representa la función; no es D ni E. Por su lado, f(x) es un elemento del rango R el elemento que la función f asigna alelemento x, que está en el dominio D.
Dos funciones f y g de D a E son iguales y escribimos
f=g siempre que fx=g(x) para toda x en D
Por ejemplo, si gx=122x2-6+ 3
fx=x2-3+3 para toda x en R, entonces g=f.

Dominio de una función: Son todos los valores que puede tomar X en la funcion para representarlos en la grafica Ejemplo: si a la función f(x) = x2 se le dan los valores x ={1,2,3,...} entonces {1,2,3,...} es el dominio. |
Imagen o Rango de una función: Son los valores de Y que puede tomar la funcion y representarlos en la grafica y pueden ir desde menos infinito a infinito o desde un numero especifico, y se presenta entre paréntesis o corchetes Ejemplo: si a la función f(x) = x2 se le dan los valores x = {1, 2,3,...} entonces el rango será y={1, 4,9,...} | Figura 2. |Contradominio de una función: Es similar al rango pero no son exactamente lo mismo, porque el contradominio son los valores que podrían salir, en cambio el rango son los valores que realmente salen. Ejemplo: Se definir una función f(x)=2x con dominio y contradominio los enteros (porque tú lo eliges así).Pero si lo piensas, verás que el rango (los valores que salen de verdad) son sólo los enterospares.Así que el contradominio son los enteros (lo has elegido tú) pero el rango son los enteros pares. |

Ejemplo 1: Determinación de los valores de función
Sea f la fucion con dominio R tal que fx=x2 para toda x en R.
(a) Encuentre f-6, f3, f, y fa+fb, donde a y b son números reales.
Solución:
Encontramos valores de f al sustituir x en la ecuación fx=x2;
f-6=(-6)2=36
f3=(3)2=3fa+b=(a+b)2=a2+2ab+b2
fa+ fb=a2+b2
(b) ¿Cuál es el rango de f?

Por definición, el rango de f está formado por todos los números de la forma fx=x2 para x en R. En vista de que el cuadrado de todo número real es no negativo, el intervalo está contenido en el conjunto de todos los números reales no negativos. Además, todos los números real no negativo c es un valor de f porque fc=(√c)2=c; por lotanto, el intervalo de fes el conjunto de todos los números reales no negativos.

Si se define una función como en el ejemplo 1, los símbolos usados para la función y variable no tienen importancia; o sea, todas las expresiones del tipo de fx=x2, fs=s2,gt=t2 y kr=r2 definen la misma función. Lo anterior es cierto porque si a2 sea cual sea la expresión que se utilice.
La frase f es una funciónsignifica que dominio y rango son conjuntos de números reales. Si una función se define por medio de una expresión, como en el ejemplo1, y el dominio D no se expresa, entonces consideramos que D es la totalidad de números reales x tales que f(x) es real. A veces esto recibe el nombre de dominio implicado de f. Para ilustrar lo anterior, sifx=x-2, el dominio implicado es el conjunto de números...