Función exponencial
La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde “e” es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio dedefinición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp. (x), donde e es la base de los logaritmos naturalesy corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma
siendo a, K ∈ Rnúmeros reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.
La función exponencial ex puede ser definida de diversasmaneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias:
o como el límite de la sucesión:
La función exponencial (y exponencial es enbase distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales.
1. Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distintaa e)
2.
3.
4.
5.
La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de su derivada. En particular,
Es decir, ex es su propiaderivada . Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:
La pendiente del gráfico encualquier punto es la altura de la función en ese punto.
La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.
La función es solución de la ecuación diferencial
Si labase de la función exponencial es cualquier número real a mayor que 0, entonces su derivada se puede generalizar así:
donde la función ln(a) es el logaritmo natural de a. En el caso particular de...
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