fundamentos

Instituto Tecnol´gico Aut´nomo de M´xico.
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Numeros Complejos
El concepto de n´mero imaginario y despu´s complejo se conoce en las
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matem´ticas y se utiliza desde tiempos remotos. La historia de su surgimiento
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refleja aquel rasgo general de desarrollo de los c´lculos matem´ticos donde la
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introducci´n y utilizaci´n de las operaciones inversas conduce, como regla, ala
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necesidad de ampliaci´n del dominio num´rico. As´ la introducci´n de la suso
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ı,
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tracci´n necesito al fin y al cabo de la complementaci´n de la serie natural con
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los n´meros negativos, la divisi´n condujo a la ampliaci´n de la serie natural
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hasta el conjunto de los n´meros racionales. A su vez la operaci´n de radicaci´n
u
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resulto la causa operativa deintroducci´n del concepto del n´mero real. El caso
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particular, cuando se trata se la extracci´n de ra´ de potencia par de un n´mero
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negativo exigia la introducci´n de los n´meros imaginarios.
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u
S´lo en el siglo XVI en relaci´n con la resoluci´n algebraica de las ecuaciones
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c´bicas R.Bombelli(1572) se aparto del tratamiento de los n´meros imaginarios
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u
comomisteriosos o absurdos y elaboro las reglas de las operaciones aritm´ticas
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con los n´meros imaginarios. No obstante, a´n en el curso de mucho tiempo,
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a pesar de algunas ideas exitosas (por ejemplo, de Wallis) respecto a la interpretaci´n de los n´meros imaginarios y complejos, su naturaleza no fue como
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prendida y la relaci´n con ellos era como con cierta sustancia sobrenatural en
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lasmatem´ticas. Incluso en el a˜o 1702 G.W. Leibniz escribio que los n´meros
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n
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imaginarios es un hermoso y maravilloso refugio del esp´
ıritu divino, casi como
la duabilidad entre la existencia y la no existencia. En la historia no hubo
insuficiencia en semejantes afirmaciones sobre las propiedades m´
ısticas de los
imaginarios, tambi´n por parte de otros cient´
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ıficos.
La poca claridaddel concepto de n´mero complejo no podia esconder su
u
utilidad en la resoluci´n de problemas concretos. Una gran cantidad de los
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hechos acumulados dio motivo a los matem´ticos del siglo XVIII para trasladar
a
el concepto de lo imaginario tambi´n al campo de las magnitudes variables. Ya
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que este traslado se realizaba para casos concretos, entonces en dependencia
del car´cter delproblema, las magnitudes imaginarias se representaban frente
a
a los investigadores con diferentes ”apariencias”: f´
ısica, geom´trica o incluso
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anal´
ıtica. El problema de la interpretaci´n cient´
o
ıfica de los n´meros complejos
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se resolv´ a la vez en diferentes planos, junto con el desarrollo general del
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an´lisis matem´tico.
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a
DEFINICION 1: n´ mero complejo.
u
Un n´merocomplejo es todo aquel de la
u
forma a + i b, donde ”i” es la unidad imaginaria y a, b dos n´meros reales
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cualesquiera.
DEFINICION 2: Igualdad
Dos n´meros complejos z1 = a + i b y z2 = c + i d, son
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iguales si y s´lo si a = c y b = d.
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Dr.Mauricio Garc´ Esteban
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Algebra Lineal/2001.

Instituto Tecnol´gico Aut´nomo de M´xico.
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DEFINICION 3: Conjugado
Dado eln´mero complejo z2 = c + i d, al n´mero
u
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complejo c − i d le llamaremos conjugado de z2 y lo representaremos con z2
¯
Forma cartesiana
Sean z1 = a + i b y z2 = c + i d, dos numeros complejos, y sus conjugados
z1 = a − i b y z2 = c − i d, entonces
¯
¯
• la suma de dos numeros complejos es otro n´mero complejo,
u
z1 + z2 = (a + i b) + (c + i d) = (a + c) + i(b + d)
• el producto de dosnumeros complejos es otro n´mero complejo,
u
z1 · z2 = (a + i b) · (c + i d) = (ac − bd) + i(ad + bc)
• el cociente de dos numeros complejos es otro n´mero complejo,
u
z1
z1 z2
¯
(a + i b)(c − i d)
(ac + bd) + i(bc − ad)
=
=
=
z2
z2 z2
¯
(c + i d)(c − i d)
c2 + d2
2
2
Propiedades de la suma y la multiplicaci´n de los n´ meros como
u
plejos
∀, z1 , z2 ∈ C
• Cerradura de...