Generalizacion Del Metodo De Integracion Por Partes

1. Generalización del método de integración por partes. Método de Traspasos de Federico Villareal. Ejemplos.

a. Integración por Partes.- el método de integración por partes es de mucha utilidad en la práctica cuyo procedimiento es de la siguiente manera:

Consideremos u=fx y v=gx dos funciones diferenciales en la variable x.

De la fórmula para la diferencial de un producto de dosfunciones se tiene:

duv=udv+vdu, lo que es equivalente a

udv=duv-vdu, integrando ambos miembros se tiene

udv=uv-vdu
Esta ecuación se denomina “Formula para la Integración por partes”.

Ejemplo:
* x2lnx dx
Haciendo:
u=lnx ⇒du=dxx
dv=x2dx ⇒v=x33
Ahora reemplazamos en la formula de Integración por Partes:
x2lnxdx=x33lnx -x33dxx
x2lnxdx=x33lnx-13x2dx
x2lnxdx=x33lnx-x39+Cb. Método de traspasos de Federico Villareal
Sabemos que la fórmula del método de Integración por Partes es
udv=uv-vdu. Podemos notar entonces que dada una integral y=f(x)dx esta es posible escribirla como y=AdB siendo esta ultima expresada por la combinación de dos términos con signos alternados. Esto da pie a considerar la integración por partes como susceptible de generalización y acorroborar que: “cuando hay dos operaciones sucesivas de composición o descomposición, ambas del mismo orden, se puede invertir su cálculo; pero si son de distinto orden no se puede cambiar su enunciado sino con cierta condición; más si una o ambas operaciones son imposibles no es permitida su permutación…”.
Puesto que y=f(x)dx escrita en términos de A.B tomará una forma más simple o complicadasegún sean A y B escogidos en forma adecuada.

Principios del Método de Traspasos.-
Dada la expresión y=f(x)dx siempre es posible expresarla en la forma y=AdB y “sin hacer traspasos” de términos, podemos interpretar la fórmula y=xfx-x22!f'x + x33!f''x-x44!f'''x del modo siguiente:
1. Tomar A después diferenciarla y dividir por dx, volver a diferenciar y dividir por dx, etc. Es decir,calcular las derivadas sucesivas de A.

2. Tomar B después multiplicarla por dx e integrar, volver a multiplicar por dx e integrar, etc. Es decir, calcular las integrales múltiples de B.

3. Multiplicar los resultados homólogos y dar los signos más y menos, es decir
A.B-A'Bdx+A''Bdx-A'''Bdx…
Como por la diferenciación va aumentando el coeficiente y disminuyendo el exponente, cuando este seacero la derivada es constante y la siguiente será cero, por tanto en este caso habrá integración exacta. Así también, como por la integración va disminuyendo el coeficiente y aumentando el exponente resulta que si una integración es constante la siguiente no será cero, pues al multiplicar por dx la integración dará x, pero si el exponente es negativo la integración llegará a ser infinita, y eneste caso la integral (como se sabe) es un logaritmo.

Ejemplo:
* Sea la función x4, cuya integral puede ser expresada en formas distintas y por el factor dx no es el único que se expresa de forma natural, así pues:
z=x4dx=x2.x2dx=x2dx33,
Aplicando el método para A=x2 y B=x33 tenemos en este caso
A=x2, dAdx=2x, d2Adx=2, d3Adx=0
B=x33,Bdx=x412, Bdx=x560
z=x53-x56+x530=x55+C

2.Casos de Integración de funciones irracionales. Condiciones de Chebichev.
Las integrales de las funciones elementales que no son racionales, representa gran dificultad en calcularlas, incluso cuando una función elemental que es la integral de una función dada, realmente existe.

c. Integrales de la forma: (Ax+B)dxax2+bx+c
El cálculo de estas integrales se realiza completando cuadrados en eltrinomio ax2+bx+c, es decir:
ax2+bx+c=ax2+bxa+ca=ax2+bax+b24a2+c-b24a=ax+b2a2+4ac-b24a
⟹(Ax+B)dxax2+bx+c=(Ax+B)dxax+b2a2+4ac-b24a
Luego se hace sustitución z=x+b2a y se aplica las formulas básicas de integración.
Ejemplo:
* Calcular la integral de x+2dx4-2x-x2:
Solución:
Completando cuadrado se tiene: 4-2x-x2=5-x2+2x+1=5-(x+1)2
⟹x+2dx4-2x-x2=x+2dx5-(x+1)2…(1)
Sea z=x+1⇒x=z-1⇒dx=dz...