INTEGRACION POR PARTES

Adolfo Chapuz Benítez

www.comoaprendomatematicas.com

Integración Por Partes

MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR
PARTES.
Hola y Bienvenido.

Te saluda Adolfo Chapuz Benítez y en este documento quiero compartir
contigo uno de los métodos de integración clásicos de las matemáticas: El
método De Integración Por partes.
Aquí te presento el método explicado a paso a paso a través de 10 ejemplos
resueltos paraque te vayas guiando y aprendas de una manera rápida y fácil
está técnica te va a ayudar a desarrollar tu PENSAMIENTO MATEMÁTICO y
al mismo tiempo te dará las bases muy sólidas para poder acreditar
asignaturas como: cálculo integral, cálculo vectorial, ecuaciones diferenciales
entre otras áreas de las matemáticas que son base para tu formación como
ingeniero u otra ciencia que dependa de estaárea tan importante.
Este documento forma parte de la Serie “Como Aprendo Integrales” el
cual está en desarrollo y muy pronto podrás tener a la mano en
formato PDF y en video en
http://comoaprendomatematicas.com/Como_Aprendo_Integrales/
Sé que te mueres por aprender a integrar y déjame decirte que estás en el
lugar indicado.

Adolfo Chapuz Benítez

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Integración PorPartes

¡Empezamos!

Este método se basa en la siguiente fórmula:

 udv  uv   vdu

OBSERVACIONES IMPORTANTES:
1.-Para poder usar la fórmula, nuestra integral se deba amoldar a la forma
“u, dv”.
2.-Lo primero que debemos identificar son dos cosas u y dv ( no u y du como
en el método de cambio de variable).
3.-En total son 4 identificaciones por encontrar: u, v, du y dv.
4.-El diferencial dv debeser tal que sea fácil de integrar.
5.-Debemos elegir las sustituciones u,dv, v y du de modo tal que la segunda
integral sea más fácil de calcular que la integral original.

Adolfo Chapuz Benítez

Ejemplo 1.-

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 ln( x)dx

fórmula

Integración Por Partes

 udv  uv   vdu

Desarrollo:

u  ln( x)
dv  dx

du 

1
dx
x

vx

1
ln(
x
)
dx

x
ln(
x
)

x

  xdx
 x ln( x)   dx
 x ln( x)  x  c

Por lo tanto:

 ln( x)dx  x ln( x)  x  c

Adolfo Chapuz Benítez

Ejemplo 2.-

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 x ln( x)dx

fórmula 

ux
Desarrollo:

dv  ln( x)dx

,

Integración Por Partes

 udv  uv   vdu

du  dx
v  x ln( x)  x

 x ln( x)dx  xx ln( x)  x    x ln( x)  xdx
 x 2 ln( x)  x 2 

 x ln( x)dx   xdx 

 x 2 ln( x)  x 2  x ln( x)dx   xdx
x2
 x ln( x)dx   x ln( x)dx  x ln( x)  x  2  c
2

2

x2
2  x ln( x)dx  x ln( x) 
c
2
2


1 2
x2
x
ln(
x
)
dx

x
ln(
x
)


c


2 
2

Conclusión:


1 2
x2
x
ln(
x
)
dx

x
ln(
x
)


c


2 
2


Adolfo Chapuz Benítez

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Integración Por Partes

xe dx
 udv  uv   vdu
Ejemplo 3.- 
Usamos la fórmula>
x

Desarrollo:ux

du  dx

dv  e x dx , v  e x

x
x
x
xe
dx

xe

e

 dx

 xe x  e x  c
 ( x  1)e x  c

 xe dx  ( x  1)e
x

Conclusión:

x

c

Adolfo Chapuz Benítez

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x e dx
Ejemplo 4.- 
2 x

fórmula ==>>

Integración Por Partes

 udv  uv   vdu

Desarrollo:

u  x2

du  2 xdx

x
dv  e x dx , v  e

 x e dx  x e   e
2 x

2 x

x

(2 xdx )

 x 2 e x  2xe x dx



 x 2 e x  2 xe x   e x dx



 x 2 e x  2[ xe x  e x ]
 x 2 e x  2 xe x  2e x  c





 x2  2x  2 e x  c

 x e dx  x
Conclusión:
2 x

2

 2 x  2e x  c

Adolfo Chapuz Benítez

xe
Ejemplo 5.- 

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x

dx

, fórmula 

Integración Por Partes

 udv  uv   vdu

Desarrollo:

ux

du  dx

dv  e  x dx , v  e  x
x
x
x
xe
dx

x(

e
)

(

e
)dx



  xe  x   e  x dx
  xe  x  e  x  c
  xe  x  1  e  x  c
 ( x  1)e  x  c
 ( x  1)e  x  c

Conclusión:

x
x
xe
dx


(
x

1
)
e
c


Adolfo Chapuz Benítez

Ejemplo 6.-

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A   e x cos( x)dx

fórmula>

Integración Por Partes

 udv  uv   vdu

Desarrollo:

u  ex
du  e x dx
dv  cos( x)dx , v  sen(x)...