Integración por partes

INTEGRACIÓN POR PARTES EN FORMA TABULAR
José A. Rangel M. 1
1. Introducción
Es conocida la dificultad que encuentra el estudiante al aplicar la fórmula de
integración por partes:

∫ u dv

= uv −

∫ v du .

Tal dificultad comienza en la

elección de las funciones u y v. Además, se sabe que hay integrales que no pueden
ser resueltas por partes como en

∫e

x

arcsen x dx .En este ensayo, se propone un método práctico (o más bien, sugerencias)
basado en las referencias bibliográficas citadas al final.
2. Elección de u y dv

En esta sección, se pretende dar esta elección apoyados en el texto [1].

Para

ello, se usa la palabra nemotécnica ILATE citada en dicho texto, con el siguiente
significado:

1

I:

funciones Inversas Trigonométricas;

L:funciones Logaritmo Neperiano;

A:

funciones Algebraicas;

T:

funciones Trigonométricas;

E:

funciones Exponenciales.

José A. Rangel M. es Licenciado en Matemática de la Facultad de Ciencias de la Universidad
Central de Venezuela (Caracas - Venezuela). Magister Scientae en Matemática de la Facultad de
Ciencias Universidad de los Andes (Mérida-Venezuela). Profesor Asociado adscritoal
Departamento de Matemática y Física de la Universidad Nacional Experimental del Táchira.
e-mail: rangelmoreno@cantv.net

Integración por partes en forma tabular

Para elegir “u”, se toma la primera función que ocurra de izquierda a derecha
en correspondencia con la palabra ILATE. Por ejemplo, en

∫ x sen x dx ,

u = x,

pues es la función algebraica. Con esa elección, dv es elresto, o sea: dv =
sen x dx. Tal como se observa, esta elección apoya la experiencia de lograr que la
segunda integral sea fácil de calcular.
A fin de esquematizar la fórmula de integración por partes, se usará el
siguiente diagrama:
u

dv

+
–

u'

v

Las flechas horizontales indicarán las integrales de dichos productos y la flecha
oblicua indicará el producto con signo, comenzandopor el signo mas (+). Nótese la
alternabilidad de los signos comenzando en la flecha oblicua con más (+).
Obsérvese que siguiendo el diagrama anterior, se obtiene la fórmula de integración
por partes:

∫ u dv

= uv −

∫ v du

La igualdad anterior admite la siguiente generalización:

∫ u v dx

= u v1 −

∫ u′ v

1

dx = u v 1 − u′ v 2 +

2

∫u

(2)

v 2 dx = "

JoséA. Rangel M.

= u v 1 − u′ v 2 + " +

( −1 ) ∫ u ( n ) v n dx ,
n

donde:

u ( i + 1) =

d i
u
dx

y

vi +1 =

∫ v dx
i

Es posible visualizar la fórmula anterior mediante el siguiente diagrama:

u

dv

+

u′

–

v

u′′

+

v1

#

#

#

( −1 ) n

u (n)

vn

Claramente, hay tres columnas: la izquierda donde están las derivadas sucesivas de

u,la central indica los productos diagonales con los signos alternados comenzando
con el signo

“+”

y la

derecha

que contiene las sucesivas primitivas (o

antiderivadas) de v.
Ejemplo 1. En la integral

∫ x sen x dx , el diagrama es:
u
x
1

dv
sen x

+

– cos x

–

Se obtiene:
3

Integración por partes en forma tabular

∫ x sen x dx

∫ cos x dx =

= − x cos x+

− x cos x + sen x + C

■

3. Distintos Casos:
3.1. Integrales de la forma:

∫

pn ( x)sen ax dx ;

∫

pn ( x) cos ax dx ;

∫

pn ( x) e ax dx .

donde pn(x) es un polinomio de grado n. Usando la palabra “ILATE”, se hace u =

pn(x) en todas estas integrales, pues es la función algebraica. La derivada (n+1)ésima de u es 0. En este caso, debajo de la columna de u, secolocarán las
derivadas sucesivas de u hasta llegar a 0. En la columna de dv, se escribirán las
integrales sucesivas de v.
Ejemplo 2. Tomando el ejemplo 1, se tiene que:
u

dv

x

+

sen x

1

–

– cos x

0

+

– sen x

Así:

∫

x sen x dx = − x cos x + sen x −

∫ 0 sen x dx

= − x cos x + sen x + C

Nótese que los signos para los productos diagonales son siempre...