Geoana02 2015 2 SERIE DE GEOMETR A ANAL TICA

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SERIE DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
PROFESOR: PEDRO RAMÍREZ MANNY

TEMA 1 Introducción a la Geometría Analítica
Diga si la proposición es falsa o verdadera. Justifique su
respuesta.
1) Los postulados de Euclides son seis.
2) Un postulado de Euclides dice: Se puede trazar una recta desde
un punto a otro cualquiera.
3) Un postulado de Euclides dice: Es posible extender un segmento
de rectacontinuamente a una recta.
4) Un postulado de Euclides dice: No es posible describir un
círculo con cualquier centro y cualquier radio.
5) Un postulado de Euclides dice: Los ángulos interiores de un
triángulo suman 180º.
6) Un postulado de Euclides dice: Que todos los ángulos rectos son
iguales.
7) El quinto postulado de Euclides dice: Por un punto exterior a
una recta pasa una y solamente una paralela.
8) Lageometría de Riemann sustituye el quinto postulado por el
siguiente: Por un punto exterior a una recta pasan dos paralelas
que separan las infinitas rectas no secantes de las secantes.

2

9) La geometría de Lobatchevsky sustituye el quinto postulado por
el siguiente: Por un punto exterior a una recta no pasa ninguna
paralela.
10) Las geometrías de Riemann y de Lobatchevsky se llaman
geometríaseuclidianas.
11) Si el punto A ( −3, 2 ) es simétrico del punto B con respecto al
origen y el punto C es el simétrico de B con respecto al eje x ,
determine las coordenadas del punto C .

⎛ 3 2⎞
12) Si el punto A ⎜ − , ⎟ es el simétrico del punto B con respecto
⎝ 7 5⎠
al origen y el punto C es el simétrico de B con respecto al eje x ;
además, el punto E es el simétrico del punto D con respecto aleje y y el punto D es el simétrico de A con respecto al origen.
Determine con respecto a qué elemento de simetría son
simétricos los puntos C y E.

SOLUCIONES: 1-12
1) F 2) V 3) V 4) F 5) F

6) V 7) V 8) F 9) F 10) F

11) C ( 3, 2 ) 12) C y E son simétricos con respecto al origen

3

TEMA 2 Curvas en el plano polar
13) Sea el punto A ( 3,60° ) . Determine las coordenadas del punto B
simétricorespecto al eje polar.
Solución: B ( 3, −60° )
14) Sea el punto A ( 3,60° ) . Determine las coordenadas del punto B
simétrico respecto al eje copolar.
Solución: B ( 3,120° )
15) Sea el punto A ( 3,60° ) . Determine las coordenadas del punto B
simétrico respecto al polo.
Solución: B ( 3,240° )
16) Hallar las coordenadas cartesianas del punto cuyas coordenadas
polares son P ( 3,240° ) .

⎛ 3
3⎞Solución: P ⎜ − , −3
⎟
2
2
⎝
⎠
17) Hallar las coordenadas cartesianas del punto cuyas coordenadas
polares son P ( 4,30° ) .

(

Solución: P 2 3,2

)

18) Hallar las coordenadas polares del punto cuyas coordenadas
cartesianas son P −3, 3 .

(

(

Solución: P 2 3,150°

)

)

4

19) Hallar las coordenadas polares del punto cuyas coordenadas
cartesianas son P ( −2,2 ) .

(

Solución: P 2 2,135°

)

20) Dadala ecuación cartesiana x 2 − 2 x + y 2 = 0 , transformarla a
polar.
Solución: r = 2cosθ
21) Dada la ecuación cartesiana x 2 + y 2 + 8 y = 0 , transformarla a
polar.
Solución: r = −8s enθ

Encontrar las ecuaciones cartesianas de las siguientes curvas.
22)

r cosθ = −2

Solución: x = −2

23)

r 2 = 9r cosθ

Solución: x 2 + y 2 − 9 x = 0

24)

r=

16
2cosθ − senθ

Solución: 2 x − y = 16

Trazar lasgráficas de las siguientes curvas
25)

θ =5

π

26)

6
r = −12csc θ

27)

r = 8s e c θ

28)

r = −8

29)

r = 8cosθ

30)

r = −6cosθ

31)

r = 6senθ

32)

r = −4 senθ

5

Solución:
25)

26)

27)

28)

29)

30)

6

31)

32)

33)

Identifique las siguientes curvas.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

7

Solución:
a) Cardioide, b) Caracol de Pascal con rizo interior, c) Caracol de
Pascal sin rizo interior, d)Rosa de tres pétalos, e) Lemniscata,
f) Espiral de Arquímedes.
34) Identifique que representan las siguientes ecuaciones.
a ) r = 4 (1 + senθ )

b) r = 1 − 2cosθ
c ) r = 2 − cosθ
d ) r = 2 sen 3θ
e) r 2 = 16cos2θ
f ) r =θ
Solución:
a) Cardioide, b) Caracol de Pascal con rizo interior, c) Caracol de
Pascal sin rizo interior, d) Rosa de tres pétalos, e) Lemniscata,
f) Espiral de Arquímedes.
35)...