Geometría Y Algebra Lineal Ii R. Markarian

´ Indice general
PREFACIO Lecturas complementarias recomendadas Gu´ para plantear y resolver problemas ıa Cap´ ıtulo 1. Matriz asociada, cambio de base y semejanza. 1. Representaci´n matricial de una transformaci´n lineal o o 2. EJERCICIOS: Matriz asociada. 3. Matriz asociada y operaciones con transformaciones 4. EJERCICIOS: Operaciones con transformaciones. 5. Cambio de bases 6. EJERCICIOS:Cambio de bases. 7. Transformaciones y matrices semejantes 8. EJERCICIOS: Operadores y matrices semejantes. Cap´ ıtulo 2. Diagonalizaci´n o 1. Valores, Vectores y Subespacios Propios. 2. C´lculo de valores y vectores propios a 3. EJERCICIOS: Valores y vectores propios 4. Tranformaciones y Matrices diagonalizables 5. Una aplicaci´n: Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales. o 6. EJERCICIOS:Diagonalizaci´n o 7. Teorema de Gershgorin 8. EJERCICIOS: Teorema de Gerschgorin. 9. Ejercicios de Evaluaci´n o ´ Cap´ ıtulo 3. FORMA CANONICA DE JORDAN 1. Subespacios invariantes 2. Forma can´nica o
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5 7 9 13 13 20 22 24 25 27 28 31 33 33 35 39 41 49 51 55 57 60 65 65 66

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3. 4.

EJERCICIOS: Forma can´nica de Jordan o Teorema de Cayley-Hamilton

71 74 79 79 81 84 8690 91 93 95 96 98 100 103 105

Cap´ ıtulo 4. Producto interno y norma 1. Producto interno 2. Norma 3. EJERCICIOS: Producto interno. Espacios normados 4. Ortogonalidad y ortonormalidad 5. EJERCICIOS: Conjuntos ortogonales y ortonormales 6. Complemento ortogonal 7. EJERCICIOS: Complemento ortogonal 8. Proyecci´n ortogonal o 9. Aplicaci´n : Un acercamiento a las series de Fourier o 10. EJERCICIOS:Proyecci´n ortogonal o 11. Aproximaci´n por m´ o ınimos cuadrados 12. EJERCICIOS: Aproximaci´n por m´ o ınimos cuadrados 13. Ejercicios de Evaluaci´n o

Cap´ ıtulo 5. Transformaciones en Espacios con producto interno 111 1. Adjunta de una transformaci´n o 112 2. Transformaciones lineales autoadjuntas 112 3. EJERCICIOS : Transformaciones Lineales Adjuntas 118 4. Transformaciones ortogonales yunitarias 121 5. Matrices ortogonales y unitarias 125 6. Teorema espectral para transformaciones lineales unitarias 129 7. EJERCICIOS: Transformaciones en espacios con producto interno 131 8. EJERCICIOS:Transformaciones lineales en espacios con producto interno. Unitarias. 133 Cap´ ıtulo 6. Interpretaci´n geom´trica en Rn . Afinidades. o e 1. Clasificaci´n de las transformaciones lineales ortogonalesen R2 o 2. Clasificaci´n de las transformaciones lineales ortogonales en R3 o 3. Transformaciones ortogonales y autoadjuntas en Rn 4. Afinidades en Rn 5. Clasificaci´n de las afinidades isom´tricas en Rn o e 6. EJERCICIOS: Interpretaci´n geom´trica en Rn . o e 139 139 141 144 146 151 156

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Cap´ ıtulo 7. Formas cuadr´ticas a 1. Definici´n, expresi´n matricial y ejemplos o o 2.Aplicaci´n del teorema Espectral a las formas cuadr´ticas o a 3. Expresi´n can´nica de una forma cuadr´tica o o a 4. Estudio del signo de una forma cuadr´tica a 5. Formas cuadr´ticas degeneradas a 6. Otros m´todos de clasificaci´n de formas cuadr´ticas e o a 7. EJERCICIOS: Formas cuadr´ticas a Cap´ ıtulo 8. Superficies Cu´dricas a 1. Definici´n, notaci´n matricial y formas reducidas o o 2. Cambiodel sistema de coordenadas 3. Clasificaci´n de Cu´dricas o a 4. Representaciones en el espacio 5. Ecuaci´n reducida de Cu´dricas con Centro o a 6. Ecuaci´n reducida de Cu´dricas sin Centro o a 7. EJERCICIOS: Cu´dricas a Ap´ndices e M´todos n´mericos para calcular valores propios e u Descomposici´n Polar o

159 159 161 162 165 167 168 172 175 175 176 177 179 186 188 195 197 197 204

PREFACIOEstas Notas contin´an naturalmente las del libro Geometr´ y Algebra Lineal 1 u ıa ´ aparecido en esta misma colecci´n. Son una reelaboraci´n, reordenada, corregida y o o completada de notas de a˜os anteriores. Por ello en su redacci´n inicial han particin o pado un gran n´mero de docentes1 del Instituto de Matem´tica y Estad´ u a ıstica “Prof. Ing. Rafael Laguardia” (I.M.E.R.L.) de la Facultad de...