Geometria analítica

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GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIAL

EL PLANO

Un plano se representa por una ecuación lineal o de primer grado en las variables x, y, z. la ecuación general del plano es por consiguiente: Ax + By + Cz+ D = 0, siempre que A, B y C no sean nulos simultáneamente.

La ecuación de la familia de planos que pasa por el punto P ( x0 , y0 , z0 ) es:

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0

VECTORNORMAL AL PLANO

Sea N = ( a , b , c ) un vector perpendicular al plano Ax + By + Cz + D = 0, entonces se cumple que: a/A=b/B=c/C siempre que a, b, c, A, B y C sean todos no nulos.

PLANOSPARALELOS Y PERPENDICULARES

Dos planos, A1x + B1y + C1z + D1 = 0 y A2x + B2y + C2z + D2 = 0, son paralelos si los coeficientes de x, y, z en sus ecuaciones son proporcionales, es decir, si se verifica:A_1/A_2 =B_1/B_2 =C_1/C_2

Dos planos, A1x + B1y + C1z + D1 = 0 y A2x + B2y + C2z + D2 = 0, son perpendiculares cuando se verifica la relación entre los coeficientes: A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 = 0DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

La distancia del punto P ( x1 , y1 , z1 ) al plano Ax + By + Cz + D = 0 es:

d = |(Ax_1 + By_1 + Cz_1+ D )/√(A^2+B^2+C^2 )|

ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS

El ánguloθ que forman dos planos, A1x + B1y + C1z + D1 = 0 y A2x + B2y + C2z + D2 = 0, viene dado por:
cos θ = |(A_1.A_2+B_1.B_2+C_1.C_2 )/(√(A_1^2+B_1^2+C_1^2 ).√(A_2^2+B_2^2+C_2^2 ))|

PROBLEMASHallar la ecuación del plano que pasa por el punto A ( 4 , -2, 1 ) y es perpendicular al vector V ( 7 , 2 , -3 )

Hallar la ecuación del plano perpendicular, en el punto medio, al segmento definidopor los puntos:
E ( -3, 2 , 1 ) y F ( 9 , 4 , 3 ).

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto H ( 1 , -2 , 3 ) y es paralelo al plano x – 3y + 2z = 0.

Hallar la ecuación del plano quepasa por el punto F ( 1 , 0 , -2 ) y es perpendicular a los planos:
2x + y – z = 2 y x – y – z = 3

Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos: A ( 1 , 1 , -1 ), B ( -2 , -2 , 2...
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