GEOMETRIA ANALITICA SEMANA 05 CIRCUNFERENCIA







GEOMETRIA ANALITICA
SEMANA
NUMERO 05
AÑO 2015





CONTENIDO







1.- Definición.
2.- Ecuación general.
3-Tangente a la circunferencia.












DEFINICION
Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
=
Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:

Si desarrollamos:

y realizamos estos cambios:

Obtenemos otraforma de escribir la ecuación:

Donde el centro es:
y el radio cumple la relación:

Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a:

Para que una expresión del tipo: sea una circunferencia debe cumplir que:
1 Los coeficientes de x2 e y2 sean iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todoslos términos de la ecuación.
2 No tenga término en XY.
3 
Ecuación de la circunferencia con centro en el origen (0,0)



X2 + Y2 = r2




Ecuación de la circunferencia con centro (h,k)


(X- h)2 + (Y- k)2 = r2
Ecuación general de una circunferencia

Si desarrollamos hasta su mínima expresión, obtenemos una ecuación de segundo grado en sus dos variables como los siguientes ejemplos:

X2 + Y2 + 5X– 6Y + 6 = 0

X2 + Y2 – X+ 6Y – 8 = 0

Por lo tanto la ecuación general de una circunferencia es:





Ejercicio 01
Indicar si la ecuación: 4X2 + 4Y2 – 4X – 8Y − 11 = 0, corresponde a una circunferencia, y en caso afirmativo, calcular el centro y el radio.
Solución
Como los coeficientes de X2 e Y2 son distintos a la unidad, dividimos por 4: 

2 No tiene término en XY.
3 
Es una circunferencia, yaque se cumplen las tres condiciones.


Completando de cuadrados.

(X2 – X + ) + (Y2 – 2Y + 1 -1) - = 0
(X - )2 + (Y – 1)2= 11/4 + 1 – 1/4
(X - )2 + (Y – 1)2 = 16/4 (X - )2 + (Y – 1)2 = 4 (X-h)2 + (y – k)2 = r2
C ( ,1) r2 = 4 r = 2
POSICION RELATIVA DE LA CIRCUNFERENCIA Y UNA RECTA
Para hallar los puntos comunes a una cónica y una recta resolveremos el sistema formadopor las ecuaciones de ambas. En general se obtiene un ecuación de segundo grado, que tendrá dependiendo del signo del discriminante,, las siguientes soluciones:
1.-Dos soluciones: La recta y la cónica son secantes.

2.- Si Δ = 0: Una solución: la recta y la cónica son tangentes.

3.- Si Δ 0: Ninguna solución: la recta y la cónica son exteriores.


Ejercicio 02
Calcula la posición relativa de lacircunferencia  
y la recta 

Solución

Y = 5 – 3X





10X2 – 32X + 22 = 0 Se divide entre 2

5X2 – 16X + 11 = 0 Se




La recta es secante a la circunferencia.

Ejercicio 03

Estudiar la posición relativa de la circunferencia x2 + y2 − 4x + 2y − 20 = 0 con las rectas:
1 x + 7y − 20 = 0





La recta es secante a la circunferencia.

2 3x + 4y − 27 = 0











La recta es tangente a lacircunferencia.




3 x + y − 10 = 0




La recta es exterior a la circunferencia.












EJERCICIOS
1 Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.



2 Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0, hallar el centro y el radio.



3 Determina las coordenadas del centro y del radio de las circunferencias:

1 


2 



3 




4 4x2 + 4y2 − 4x − 8y − 11 = 04 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2, −3) y es tangente al eje de abscisas.




5 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (−1, 4) y es tangente al eje de ordenadas.




6 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.






7 Hallar laecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación, y que pasa por el punto (−3, 4).


Por ser concéntricas tienen el mismo centro.







8 Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto C (3, 1) y es tangente a la recta: 3x − 4y + 5 = 0.







9 Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, 0), B(2, 3), C(1, 3).




10 Hallar la...