Geometria analitica

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Geometría analítica es la rama de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes. En un espacio tridimensional, lospuntos se pueden localizar de manera similar utilizando tres ejes, el tercero de los cuales, normalmente llamado z, es perpendicular a los otros dos en el punto de intersección, también llamado origen. Existen muchas definiciones validas, pero considero ésta un tanto más exacta y simple de entender.
Actualmente el término geometría analítica sólo es usado en enseñanzas medias o en carreras técnicasen las que no se realiza un estudio profundo de la geometría.
Cabe remarcar que hay 2 tipos de estudios de la geometría cartesiana:
a)Euclidiana
b)No euclidiana
Geometría Euclidiana

La geometría euclidiana es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. En ocasiones los matemáticos usan el término para englobar geometrías de dimensiones superiores conpropiedades similares. Sin embargo, con frecuencia, geometría euclidiana es sinónimo de geometría plana.
Desde un punto de vista historiográfico, la geometría euclidiana es aquella geometría que postuló Euclides, en su libro "Los elementos", dejando al margen las aportaciones que se hicieron posteriormente, incluido Arquímedes, del cual hablare posteriormente.
Euclides planteó cinco postulados, loscuales, son usados para la presentación tradicional de la geometría euclidiana, o dicho de otra manera, las características con las que algo debe cumplir para llamarse geometría euclidiana. Estos son:
1. Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une.
2. Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido.
3. Se puede trazar una circunferencia concentro en cualquier punto y de cualquier radio.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.
El ultimo postulado es crucial al mencionar la historia de la geometría analítica en general, o ensu caso, la geometría euclidiana. Euclides asumió que todos sus postulados eran evidentes y por tanto hechos que no requerían demostración. Sin embargo, el quinto postulado resultó que si bien es compatible con los otro cuatro, es en cierto modo independiente. Es decir, tanto el quinto postulado como la negación del quinto postulado, son compatibles con los otros cuatro postulados. Las geometríasdonde el quinto postulado no es válido se llaman geometrías no euclidianas, y de ellas hablare en seguida.

Geometría no-euclidiana

Se denomina geometría no euclidiana  a cualquier forma de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los establecidos por Euclides en su tratado Elementos y en sus postulados. El primer ejemplo de geometría no euclidiana fuela hiperbólica, teorizada inicialmente por Immanuel Kant, formalizada posterior e independientemente por varios autores a principios del siglo XIX tales como Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, Riemann, y William Rowan Hamilton, entre otros, y de los que mencionare a algunos. Los desarrollos de geometrías no euclidianas se gestaron en sus comienzos con el objetivo de construir modelos explícitos en losque no se cumpliera el quinto postulado de Euclides.
Ya desde la antigüedad se consideró que el quinto postulado del libro de Euclides no era tan evidente como los otros cuatro pues, al afirmar que ciertas rectas no se cortarán al prolongarlas indefinidamente, habla de una construcción mental un tanto abstracta. Por eso durante muchos siglos se intentó sin éxito demostrarlo a partir de los...
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