Geometria

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GEOMETR´IA DEL ESPACIO EUCL´IDEO
1. [M&T] Describir el significado ge´ometrico de la siguiente transformaci´on en coordenadas
cil´ındricas: (a) (, , z) ! (, +,−z). Y de las transformaciones: (b) (r, , ) ! (r, , +),
(c) (r, , ) ! (r,  − , ), (d) (r, , ) ! (2r, ,  + /2) en coordenadas esf´ericas.
2. Expresar los vectores er, e y e en t´erminos de i, j y k.
3. Demostrarque la distancia entre dos rectas no paralelas r1(t) = v + ta y r2(t) = w + tb est´a
dada por
d = |(w − v) · (a × b)|
ka × bk
.
4. [M&T] Encontrar una ecuaci´on para el plano que (i) pasa por (2,−1, 3) y es perpendicular
a la recta v = (1,−2, 2) + t(3,−2, 4); (ii) contiene a las rectas v1 = (0, 1,−2) + t(2, 3,−1) y
v2 = (2,−1, 0) + t(2, 3,−1). Encontrar la ecuaci´on de la recta que pasa por(1,−2,−3) y es
perpendicular al plano 3x − y − 2z + 4 = 0.
5. Consid´erese el cono z =
p
x2 + y2. Obtener y describir las curvas (c´onicas) obtenidas como
lugar geom´etrico de la intersecci´on del cono con los planos:
(a) Plano horizontal z = c
(b) Plano vertical y = c
(c) Plano inclinado paralelo a la generatriz z = y + c
(d) Plano inclinado az + by = c donde a > b
6. Dibujar las curvasde nivel y las gr´aficas de las siguientes funciones indicando adem´as el dominio
y la imagen en cada caso (a, b, c, p y q son constantes positivas):
(a) f(x, y) = x + y − 1
(b) f(x, y) = c
p
1 − x2/a2 − y2/b2
(c) f(x, y) = c
p
x2/a2 + y2/b2 − 1
(d) f(x, y) = c
p
x2/a2 − y2/b2 − 1
(e) f(x, y) = x2
2p
+ y2
2q
.
[Problemas propuestos: f(x, y) = x2
2p −
y2
2q
y f(x, y) =
r
x2a2 + y2
b2 ].
L´IMITES Y CONTINUIDAD
7. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:
(a) f(x, y) = x sin
1
x2 + y2 cuando (x, y) 6= (0, 0) y f(0, 0) = 0
(b) f(x, y) = x2y2
x2y2 + (x − y)2 cuando (x, y) 6= (0, 0) y f(0, 0) = 0.
8. Hallar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: (a) z = ln
p
x2 + y2 y (b)
z = cos y
x
.
9. Estudiar la continuidad de la funcio´n f : R2 ! R2 definida por f(x, y) =
x5
(y − x2)2 + x8 , sin(x + y)

cuando (x, y) 6= (0, 0) y f(0, 0) = (0, 0).
10. Estudiar la existencia y calcular en su caso los siguientes l´ımites
(a) lim(x,y)!(0,0)
ln(1 + sin2 x) tan y
(1 − cospy) arcsin x2 si y > 0
(b) lim(x,y)!(0,0)
ln(1 + x)
ey − 1
si 1 + x > 0, y 6= 0.
11. ¿Para qu´e valores positivos de , y
puede ser continua lafunci´on f(x, y) = |x| |y|
(x2 + y2)
en
el punto (0, 0)? ¿Cu´anto ha de valer en (0, 0)?
12. Si lim(x,y)!(a,b) f(x, y) = L, y si existen dos l´ımites limx!a f(x, y) y limy!b f(x, y), demostrar
que limx!a(limy!b f(x, y)) = limy!b(limx!a f(x, y)) = L.
13. Encontrar ejemplos de funciones f : R2 ! R tales que
(a) limx!0 limy!0 f(x, y) y limy!0 limx!0 f(x, y) existan ambos y sean distintos
(b)f(x, y) es continua a lo largo de cada recta que corta al origen pero no es continua en (0, 0).
DIFERENCIACI ´ON
14. La ecuaci´on
@2f
@x2 + @2f
@y2 = 0
se llama ecuaci´on de Laplace y sus soluciones f(x, y) se denominan funciones arm´onicas.
¿Cu´ales de las siguientes funciones son arm´onicas?
(a) x2 − y2 (b) sin x cosh y (c) ex sin y
15. Si u = f(x − ct) + g(x + ct), donde f y g sonfunciones arbitrarias derivables dos veces,
demostrar que
@2u
@x2 −
1
c2
@2u
@t2 = 0.
Esta ecuaci´on en derivadas parciales es la ecuaci´on de ondas en una dimensi´on.
Comentario: La ecuaci´on de ondas en tres dimensiones es uxx+uyy+uzz− 1
c2 utt = 0. Comprobar
que u =
1
r
(f(r −ct)+g(r +ct)), donde r = (x2 +y2 +z2)1/2, es soluci´on de esta ecuaci´on.
N´otese el factor 1/r que aparece enla soluci´on porque es importante en f´ısica.
16. Comprobar que la f´ormula de D’Alambert
u =
1
2
[f(x − ct) + f(x + ct)] +
1
2c
Z x+ct
x−ct
ds g(s),
donde f y g son derivables (f tiene que serlo dos veces por lo menos), satisface la ecuaci´on de
ondas en una dimensi´on con condiciones iniciales u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x).
17. [M&T, pg 161] La ecuaci´on en derivadas parciales...
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