Geometria

1. Circunferencia de los 9 puntos.
En geometría, se conoce como circunferencia de los nueve puntos a una circunferencia que se puede construir sobre cualquier triángulo dado. Su nombre deriva del hecho que la circunferencia pasa por nueve puntos notables, seis de ellos sobre el mismo triángulo (salvo que el triángulo sea obtusángulo). Estos son:
el punto medio de cada lado del triángulo,
lospies de las alturas
los puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro y los vértices del triángulo.



Demostración:

Consideremos las alturas del triángulo ABC: AE, BG y CJ. El triángulo GEJ es el triángulo órtico del triángulo ABC, y el punto I es el ortocentro del triángulo ABC. Las alturas de este, son las bisectrices de los ángulos internos de aquel. Los lados deltriángulo ABC son las bisectrices exteriores del triángulo GEJ.
Las bisectrices del ángulo JGE cortan a la mediatriz del lado opuesto, EJ en los puntos F y N que se hallan sobre la circunferencia circunscrita c (descrito en el artículo de la bisectriz de un angulo).
Observemos que los triángulos ACJ y ACE son rectángulos teniendo ambos al lado AC como hipotenusa. Se sigue que los cuatro puntos A, C,E y J son concíclicos y el centro de la circunferencia que los contiene se halla sobre la intersección de la hipotenusa AC con la mediatriz del segmento EJ, esto es, el punto N. Se sigue que N es punto medio del segmento AC.
De modo semejante, los triángulos EIB y JIB son rectángulos compartiendo la hipotenusa IB. Por lo tanto, los puntos E, I, J y B son concíclicos y el centro de lacircunferencia que los contiene se halla sobre la intersección de la hipotenusa IB con la mediatriz del segmento EJ, esto es el punto F. De igual modo, se demuestra que los puntos M y P son los puntos medios de los lados AB y BC respectivamente. De forma análoga, se demuestra que los puntos D y H son puntos medios de los segmentos AI y CI respectivamente.






Esta circunferencia está asociada a cadatriángulo y su nombre viene del hecho que la circunferencia pasa por nueve puntos notables, seis de ellos sobre el mismo triángulo (salvo que el triángulo sea obtusángulo). Estos puntos que vamos a construir son:
• Los puntos medios de cada lado del triángulo.
• Los pies de las alturas.
• Los puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro y los vértices del triángulo.Realiza las siguientes actividades.
1. Construye un triángulo acutángulo ABC.
2. Calcula los punto el punto medio de cada uno de los lados (recuerda cómo se construye la mediatriz de un segmento). Marca esos puntos de color rojo.
3. Construye las tres alturas del triángulo ABC. Marca los puntos de corte de las alturas con los lados con puntos de color azul.
(Para trazar la altura desde elvértice A (respecto del lado BC) de un triángulo de vértices ABC, tienes que hacer lo siguiente:
• Localizas el vértice A.
• Con origen en el vértice A, trazas un arco de circunferencia de radio cualquiera pero tal que corte al lado BC (o su prolongación) en dos puntos que llamaremos
N y M.
• Trazas la mediatriz del segmento NM, y la prolongas hasta que corte o incida en el vértice A
Larecta así obtenida es la altura que buscábamos).
4. Recuerda que el ortocentro de un triángulo es el punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo. Marca en color negro este punto. Llámalo O.
5. Calcula los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro y cada uno de los vértices del triángulo. Marca esos puntos en color verde.
6. Vamos a unir los puntos rojos, azules y verdescon una circunferencia. Busca el centro de la circunferencia y prueba para comprobar si lo has conseguido. Si lo has logrado, acabas de construir la circunferencia de los 9 puntos.

2. Triangulo ortico.
Definición. El triángulo que tiene por vértices los pies de las alturas de un triangulo dado ABC se llama triangulo ortico del ABC.
Construcción: (está incompleto creo)
Dibujamos un...