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Universidad de Concepci´n
o
Facultad de Ciencias F´
ısicas y Matem´ticas
a
Departamento de Ingenier´ Matem´tica
ıa
a
´
Listado 1, Algebra I, 525147
Tema: N´meros complejos
u
Observaci´n:Vea tambi´n los ejemplos y ejercicios en el libro principal del curso
o
e
´
Algebra I, primer curso.
1. Escriba los siguientes n´meros complejos en forma binomial,
u
a)

1
,
2 + 3i

b )−4 1 +

c)
i
12

+4 1−

1
,
12 i

1 + 2i
,
(1 − 2 i) (−1 − i)

d)

(1, 0) (3, 0) (1, −1) · (2, 1)
+
−
,
(0, 1) (1, 1)
(3, −1)

De cada uno de los n´meros resultantes encuentre:parte real, parte imagiu
naria, inverso aditivo, inverso multiplicativo (si existe), conjugado y m´dulo.
o
En pr´ctica: 1b , 1d .
a
2. Muestre que
a ) Para cada z ∈ C, z = 0, el inversomultiplicativo de z es unico.
´
b ) ∀z1 , z2 ∈ C, z1 · z2 = 0 si y s´lo si z1 = 0 o z2 = 0.
o
c ) ∀ z ∈ C, z = 0, |z −1 | = |z |−1 .
d ) ∀ z ∈ C, ∀ n ∈ N, z n = z n .
En pr´ctica: 2b .
a
3. (enpr´ctica) Sean z1 , z2 ∈ C. Demuestre que
a
a ) |z1 + z2 | ≥ ||z1 | − |z2 ||,
b ) |z1 − z2 | ≥ ||z1 | − |z2 ||,
c ) |z1 − z2 | ≤ |z1 | + |z2 |.
Sugerencia: La primera propiedad es equivalente a
−|z1 +z2 | ≤ |z1 | − |z2 | ≤ |z1 + z2 |.
Estas desigualdades pueden demostrarse con ayuda de la desigualdad triangular.
4. Halle el lugar geom´trico de todos los z ∈ C tales que
e
1

a ) |z − 5 i| =0,
b ) Re(z ) ≤ 1 y |z | ≥ 1,
c ) Im(z − 4 + 2 i) ≤ 3,
1
1
d ) Re
≤,
z
2
e ) Re((1 + i)z ) < 0,

f)

z+1
≥ 1,
z−i

g ) z + z + z z = 0,
h)

z−1
≤ 1.
z+1

Repres´ntelosgr´ficamente en el plano de Argand.
e
a
En pr´ctica: 4a , 4b ,4f .
a
5. Demuestre la generalizaci´n de la desigualdad triangular para un n´mero
o
u
finito de t´rminos. Esto es: si z1 , z2 , . . . , zn ∈ C,entonces
e
|z1 + z2 + . . . + zn | ≤ |z1 | + |z2 | + . . . + |zn | ,

∀n ∈ N.

6. (en pr´ctica) Demuestre que
a
i4n = 1,

i4n+1 = i,

i4n+2 = −1,

i4n+3 = −i.

Use estas...