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CAPITULO 6
______________________________ “Nuestras almas, cuyas facultades pueden comprender la maravillosa arquitectura del mundo, y medir el curso de cada planeta vagabundo, aún escalan tras el conocimiento infinito” Christopher Marlowe.

INTEGRALES MULTIPLES
6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6.9. Integrales dobles. Cálculo de una integral doble en regiones generales. Cambio de ordende integración. Cambio de variable en una integral doble. Aplicaciones de la integral doble al cálculo de áreas y volúmenes. Integrales triples. Integrales triples en regiones generales. Cambio de variable en una integral triple. Aplicaciones de la integral triple al cálculo de volúmenes.

6.1 INTEGRALES DOBLES. Dada una función z = f ( x, y ) en D ⊂ R tal que z > 0 , ∀( x, y ) ∈ D ; queremosencontrar el volumen del sólido limitado por “f” arriba de D, donde D es una región rectangular definida por el producto cartesiano de 2 intervalos de R: D = a , b × c, d / x ∈ a , b ∧ y ∈ c, d .
2

[ ] [

]

[ ]
z

[

]

z = f(x,y)

c a

d y

b x

∆x ∆y
Figura 6-1

[a, b] y [c, d ] en “n” particiones. Queda D dividida en “n” celdas y cada celda tiene un área (∆x ∆y ) .Sea ∆V el volumen arriba de una
Dividimos al intervalo celda cualquiera si ∆x y ∆y son incrementos infinitesimales, entonces considerarse como un paralelepípedo y su volumen será:

∆V puede

∆V = f (x, y )∆y∆x
Si consideramos V como la suma de los volúmenes de arriba de cada celda:

V = ∑ ∆V = ∑∑ f ij ( x, y )∆xi ∆y j
j =1 i =1

n

n

Cuando se toma un número de particiones “n” muygrande entonces tendremos:

V = lim ∑∑ f ij ( x, y )∆xi ∆y j
n →∞ d b j =1 i =1

n

n

V = ∫ ∫ f ( x, y )∂x∂y
c a

Observaciones i) La integral doble es un límite a) Puede existir o no b) Si existe es un número real. ii) Sirve para calcular el volumen limitado por una función arriba de una región D. D se llama Región de Integración y para el caso de la integral doble es un subconjuntode R2 (región plana cualquiera). a, b y c, d son los límites y van de acuerdo a la ubicación del diferencial

∫ ∫ f (x, y )∂x∂y
c a

d b

=

∫ ∫ f (x, y )∂y∂x
a c

b d

interna externa

interna externa

La integral se evalúa en dos procesos de la integral definida independientes considerando la constante la variable que no se integra; siempre se evalúa primero la integral interna,luego la externa. Ejemplo 6-1 Calcular

∫∫ (3xy + 2 x
Q

2

− y 3 ∂x∂y ; donde Q = [1,3]× [− 2,4]

)

Solución:

Resolvemos con el orden de integración indicado
4 3   3x 2 y 2 3 3 2 3  ∫2 ∫ 3xy + 2 x − y ∂x ∂y = −∫2  2 + 3 x − y x ∂y  1 − 1  4 3

(

)

56   = ∫ 12 y + − 2 y 3 ∂y 3  − 2 56   y − 2y4  = 6 y 2 + 3   −2 = 72 + 112 − 120 = 64
4

4Ahora resolvemos cambiando el orden de integración indicado
3 4   3 xy 2 2 2 y4  3 xy + 2 x 2 − y 3 ∂y ∂x = ∫  + x y −  ∂x ∫ −∫2 2 3 4  −2 1  1   3 4

(

)

= ∫ 18 x + 12 x 2 − 60 ∂x
1

3

(

)

= 9 x 2 + 4 x 3 − 60 x 1 = 72 + 112 − 120 = 64
Propiedades Sean f, g dos campos escalares integrables en 1. 2. 3.

[

]

3

D ⊂ R 2 , sea α ∈ R :

∫∫ ( f ± g ) ∂A = ∫∫ f∂A ± ∫∫ g ∂A .
D D D

∫∫α f ∂A = α ∫∫ f ∂A .
D D

Si

f ≥ g , ∀( x, y ) ∈ D ; entonces

∫∫ f ∂A ≥ ∫∫ g ∂A .
D D

4. 5.

∫∫ f ∂A ≤ ∫∫ f
D D

∂A

Sea

Q = D1 ∪ D2 ∪ D3 ∪ K ∪ Dn ; entonces:
D1 n D2 D3 Dn

∫∫ f ∂A = ∫∫ f ∂A + ∫∫ f ∂A + ∫∫ f ∂A + L + ∫∫ f ∂A
Q

∫∫ f ∂A = ∑ ∫∫ f ∂A
Q i =1 Di

6.2 CÁLCULO DE UNA INTEGRAL DOBLE EN REGIONES GENERALES. Adoptaremos tres tiposde regiones planas: Tipo 1

y f2(x)

D
f1(x) a
Figura 6-2

b

x

D : ( x , y ) ∈ R 2 / a ≤ x ≤ b ∧ f1 ( x ) ≤ y ≤ f 2 ( x )
Tipo 2

{

}

y d

g1(y)

g2(y)

D
c x
Figura 6-3

D : ( x , y ) ∈ R 2 / g1 ( y ) ≤ x ≤ g 2 ( y ) ∧ c ≤ y ≤ d

{

}

Tipo 3 Este tipo de regiones pueden ser tipo 1 o tipo 2 indistintamente. Las regiones tipo 3 son en realidad las regiones...