Guía de ejercicios

Matem´tica 1 a

Unidad 5 - Aplicaciones

Ingenier´ Comercial ıa

Unidad 5 - Aplicaciones de la derivada
II. Extremos locales o relativos (M´ximos relativos o m´ a ınimos relativos) Definici´n o 1. Una funci´n f tiene un m´ximo relativo (o local) en x = c, si el punto (c, f (c)) de la gr´fica, es un o a a punto m´s alto que cualquier punto de la gr´fica pr´ximos a ´l (por ambos lados). a a o eEs decir, existe un intervalo abierto I, del dominio de f , que contiene a c, tal que f (c) ≥ f (x), para todo x ∈ I. 2. Una funci´n f tiene un m´ o ınimo relativo (o local) en x = d, si el punto (d, f (d)) de la gr´fica, es a un punto m´s bajo que cualquier punto de la gr´fica pr´ximos a ´l (por ambos lados). a a o e Es decir, existe un intervalo abierto I, del dominio de f , que contiene a d, talque f (d) ≤ f (x), para todo x ∈ I. NOTA: Si f tiene un m´ximo relativo en x = c, entonces: a • el valor f (c) es el m´ximo valor que alcanza f en ese intervalo a • el punto (c, f (c)) es un punto m´ximo relativo de f . a Si f tiene un m´ ınimo relativo en x = d, entonces: • el valor f (d) es el m´ ınimo valor que alcanza f en ese intervalo • el punto (d, f (d)) es un punto m´ ınimo relativo de f.

Grafica de y = f (x)

Inst. de Matem´tica y F´ a ısica Universidad de Talca

1

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Nota. Un valor de x, candidato a ser la abscisa de un extremo relativo de f , es llamado valor cr´ ıtico de f . Valores criticos de una funci´n o Sea y = f (x). Los valores criticos de f son: (*) Las soluciones de f (x) = 0 (*) Los x ∈Dom(f ), tales que f (x) no est´ definida a Prueba de la primera derivada: Sea c un valor critico de f . • Si el signo entonces f • Si el signo entonces f de f (x) cambia de positiva a negativa al crecer x, al pasar por el punto de abscisa c, tiene un m´ximo relativo o local en x = c. a de f (x) cambia de negativa a positiva al crecer x, al pasar por el punto de abscisa c, tiene un m´ ınimo relativoo local en x = c.

M´todo de la 1ra. derivada para calcular m´ximos o m´ e a ınimos relativos o locales de una funci´n. o P1. Hallar f (x). P2. Hallar los valores cr´ ıticos de f . Los valores criticos, determinan subintervalos en Dom(f ). P3. Hallar el signo de f (x) en cada subintervalo. P4. Estudiar el comportamiento de f en torno a cada valor cr´ ıtico de f . Sea x = c un valor cr´ ıtico def . Se calcula f (x) para un valor de x muy cerca por la izquierda de x = c, y luego f (x) para un valor de x muy cerca a la derecha de x = c. • Si signo de f (x) cambia de + a −, entonces f tiene un M´ximo relativo en x = c a En este caso, el punto (c, f (c)) ser´ un punto m´ximo relativo de f . ıa a • Si signo de f (x) cambia de − a +, entonces f tiene un m´ ınimo relativo en x = c En estecaso, el punto (c, f (c)) ser´ un punto m´ ıa ınimo relativo de f . • Si el signo de f (x) no cambia, entonces la funci´n no tiene ni m´ximo ni m´ o a ınimo relativo en x = c. Ejemplo 1. Sea f (x) = 2x3 − 9x2 + 12x − 3. Determinar los extremoa relativos de f . P1) f (x) = 6x2 − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2) P2) Valores criticos de f : 1, 2 a) f (x) = 0 =⇒ 6(x − 1)(x − 2) = 0 =⇒ x = 1 o b) No existe x talque f (x) no est´ definida. a P3) Signo de f (x) en cada sub-intervalo.

x=2

1
signo de f (x) = 6x2 − 18x + 12 f es: (0) + (1.5) −

2
3 +

↓ ↓ M´ximo a minimo relativo relativo ´ P4. Conclusion. Como la derivada de f cambia de + a − al pasar por 1, entonces en x = 1 hay un m´ximo relativo o local, este valor m´ximo es f (1) = 2. a a Como f cambia de − a + al pasar por x = 2, se concluyeque en x = 2 hay un m´ ınimo local, y este valor m´ ınimo es f (2) = 1 Inst. de Matem´tica y F´ a ısica Universidad de Talca 2

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Ejemplo 2 Sea y = f (x) = x + Soluci´n: o

4 , determinar extremos relativos de f . x+1

4 (x + 1)2 − 4 (x + 3)(x − 1) = = 2 2 (x + 1) (x + 1) (x + 1)2 P2. Valores cr´ ıticos de f : x = −3, x...