Guia de integrales
1
INTEGRALES INDEFINIDAS SUMAS DE RIEMANN INTEGRALES DEFINIDAS
INTEGRALES INDEFINIDAS
EJEMPLO - A Determine la antiderivada más general de la función definida por: F(x) que el resultado obtenido es correcto.
2- x y verifique x2 2
SOLUCIÓN Sea:
G(x)
2- x dx x2 2
G(x)
2 x
2
x 2 x
2
2
dx
2
1 x
2
2
dx -
x x
2
2
dx
Sea:u
x2 2
1 du 2 -
x dx 1 1 du u 2 x 2 arctg 2 2 1 Ln u 2
G(x)
x 2 arctg 2 2
-
C
La antiderivada más general de F(x) es:
G(x)
x 2 arctg 2 2
-
1 Ln x 2 2 2
C
Para verificar el resultado considero la derivada de G(x), así:
G (x) 2 2 1 1 x 2
2
1 2
-
1 1 2x 2 x2 2
0 1
1 x 2
2
-
x x
2
1 2 2 x 2
2
-
x x
2
2
G (x)
2 2 x2
-
x x
2
2
2-x 2 x2
F(x)
¡ y queda verificado ¡
Matemáticas II - UNIMET
2
Ejercicio 1 Determine la antiderivada más general de la función definida por: F(x) verifique que el resultado obtenido es correcto.
7 Sen(x) Cos 2 (x)
y
Ejercicio 2 Calcular las siguientes integrales
x
2.1.
3 3
x
2
dx
2.2.
5e x
1
3x
dx 7 dx
2.3.
1 e
3x5 3
e
3x
dx
2.4.
4 x
2.5.
e e 4 4
1 x 3
4x
2
1 x
dx
2.6.
1 ln x x 9 ln x
2 2
dx
2.7.
4x
2 x x
dx
2.8.
Sen x cosx 7 3 Sen x
6
dx
2.9.
dx
2.10.
2x 4x
x
2
5 3
x
dx
2.11.
x 4
dx Ln(x) Lnx x 2 Lnx dx 5e
6x 2 3 8
2.12.
14
5
3 dx
2.13.
5
dx
2.14.
e
Tg(x) 2
Cos (x)
3
dx2.15.
3
2.16.
Sen (2x) Cos(2x) dx
1 - 4x 3x 2
2.17.
Sen(x) 3 Cos (x)
2
dx
2.18.
dx
2.19.
2 x x
2
2
dx
2.20.
3
tg(x)
2
1 sen (x)
dx
arctg
x 2
2.21.
x
2
4
dx
2.22.
x3 x2 1
dx
Ejer–plos 1 - H. VERA
3
2.23.
x 2x
2
3
4
6
dx
2.24.
X 2X 3
dx
2.25.
x
3
4 3x
2
dx2.26.
ex
ex dx 1 Ln e x 1
10
2.27.
x 8x
8
3
6
10
dx
2.28.
x11 x 4 3
dx
Sen2 ( x )
2.29.
1 1 Sen(x)
dx
2.30.
Cos(x) Sen(x) e
dx
2.31.
Sen(x) Cos(x)
3
2
dx
2.32.
x5 x3
5 dx
5
2.33.
x x
8
4
3
dx
2.34.
Sen
11
x Sen
4
x
2
Cos x dx
2.35.
Sec (x) Tg(x) dx
2.36.
tg bx a
bx a
2dx
2.37.
Sen ( 2x)Cos( dx 2x)
1 x 1 x
2
2.38.
2x 3
x
3x Ln2 x 2 3x dx
dx
2.39.
1 5
dx 2
2.40.
tg (bx) 1 a tg(bx)
2
2.41.
Sec(x)Tg(x) 10 Sec(x) dx
Ln(x) dx x 4 Ln(x)
2
2.42.
3 Sec(x) sen2 (x) 1
Sen(x) dx
2.43.
2.44.
x11 7 x 4 dx
RETO: El énfasis que se hace en este material está referido a las aplicaciones. Se recomiendarevisar el problemario que ofrece el libro texto del estudiante a fin de complementar el estudio del presente temario.
Matemáticas II - UNIMET
4
INTEGRALES INDEFINIDAS Y PROBLEMA DE VALOR INICIAL
EJEMPLO - B Determina la ecuación de la curva que contiene al punto e 3,2 y tal que, la pendiente de la recta tangente en el punto (x,y) viene dada por:
Ln(x 3) xy 3x 3y 9
SOLUCIÓN Deacuerdo al enunciado se cumple que:
dy dx Ln(x 3) xy 3x 3y 9
Separando variables e integrando en la ecuación diferencial queda:
dy dx Ln(x 3) xy 3x 3y 9 dy dx Ln(x 3) y 3 x 3y 3 Ln(x 3) dx x 3 dy dx Ln(x 3) y 3 x 3
y 3 dy
Sea: Por lo tanto:
u
Ln x 3 y dy 3
du dy
1 x 3
dx u du
y2 2 Ln x 3 2
2
3y
u2 2
C
y2 2
3y
C
Para calcular “C” considero el punto e 3,2, así:
22 2 3 2 Ln e - 3 3 2 2
C
4
1 2
C
C
9 2
Conclusión: La ecuación de la curva pedida es:
y2 2 3y Ln x 3 2 2 9 2
Ejer–plos 1 - H. VERA
5
Ejercicio 3 Resolver los siguientes problemas de valor inicial:
3.1.
dy dx
xy y x
3.2.
dy dx
e
3x 2 4
x y xy
2
y
2
2
2y
para x= 1, y = e2 3.3.
dy dx xy xy 3x 2x y 4y 3 8
para :...
Regístrate para leer el documento completo.