Guia matematica

GUIA LOGICA Y CONJUNTOS
1. ¿Cu´l de los siguientes conjuntos son iguales? a A1 A3 A5 A7 A9 = {1, 2} = {2, 1} = {3, 1, 3} = x ∈ IR/x2 − 4x + 3 = 0 = {x ∈ IN/x es menor que 3} A2 = {1, 3} A4 = {3, 1} A6 = {1, 2, 1} A8 = x ∈ IR/x2 − 3x + 2 = 0 A10 = {x ∈ IN/x es menor que 5 y x es impar}

2. Escribir de manera extensiva los siguientes conjuntos: (a) A = {x ∈ Z/x es positivo y divisible por 4} (b)B = x ∈ Z/ 2x+3 = x + 2 3 3. Si p y q son proposiciones falsas, determinar el valor de verdad de: (a) p ∧ (q ∨ p) ⇔ (q ∨ p) (b) [(q → p) → q] ∨ p ↔ q 4. Determinar el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados: (a) Si 3 < 5, entonces, −3 < −5. (b) Si 2 + 2 = 4, entonces 3 + 3 = 7, si y solo si, 1 + 1 = 1. √ √ (c) 16 = 4 o 16 = −4 √ √ (d) 6 + 4 = 10 y 2 · 2 = 2 (e) 52 = 25 o 3 · 3 =9 (f) Si 2 + 2 = 4, entonces no es cierto que 2 + 1 = 3 y 5 + 5 = 10 (g) Si 3 − 1 = 2, entonces 2 + 2 = 4

5. Elaborar una tabla de verdad para cada una de las siguientes proposiciones: (a) p → (p ∨ q) (b) [p ∧ (p → q)] → q (c) (p → q) → (q → p) (d) [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) 6. Determinar a qu´ corresponde, ( tautolog´ contradicci´n o contine ıa, o gencia ) cada una de las siguientesproposiciones: (a) (p ∧ q) ∧ (p ∨ q) (b) [(p ∧ q) ∧ s] ↔ [p ∧ (q ∧ s)] (c) [(p → q) ∧ (p ∧ q ∧ r)] → (p ∨ q) 7. Construir la tabla de verdad apropiada para demostrar las siguientes equivalencias: (a) [(p ∨ q) ∧ p] ≡ (p ∧ q) (b) [p ∨ (p ∧ q)] ≡ p (c) [(p ∨ q) ∨ (p ∧ q)] ≡ p (d) [p → (q ∧ r)] ≡ [(p → q) ∧ (p → r)] 8. Simplificar las siguientes proposiciones compuestas: (a) (p → q) → [p → (q ∧ p)] (b) (q →p) → [(p ∧ q) → (p → q)] 9. Negar las siguientes proposiciones y simplificar la proposici´n resulo tante: (a) p ∧ (q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ r) (b) (p ∧ q) → r (c) p ∨ q ∨ (p ∧ q ∧ r)

10. Considerar las funciones proposicionales siguientes definidas sobreIN : p(n) : n(n + 1) es n´mero par. u q(n) : (n2 − n + 41) es un n´mero primo. u Determinar el valor de verdad de: a) p(3) → q(4) b) q(6) ∨ p(7) 11.Considerar las funciones proposicionales: p(x) : x es par q(x) : x es multiplo de 5 r(x) : x ≥ 8 Determinar el valor de verdad de: (a) ∀x ∈ IN : (p(x) ∨ r(x)) (b) ∀x ∈ IN : (p(x) ∧ q(x)) (c) (∃x ∈ Z) (r(x) → q(x)) 12. Utilizando el cuantificador apropiado, expresar en forma simb´lica o cada una de las proposiciones siguientes, y luego determinar su valor de verdad: u (a) Existen n´meros enteros talesque x2 − 1 = 0 (b) En todos los n´meros naturales x, −xes menor que cero. u (c) Existe un n´mero racional q, tal que (q − 1) es negativo. u 13. Negar cada una de las siguientes proposiciones del ejercicio anterior. 14. Dados A = 1, 0, −2, − 1 y B = {−2, 2, 1}. Determinar el valor de 2 verdad de cada una de las siguientes proposiciones: (a) (∀x ∈ A) (∃y ∈ B) xy + 1 < 0 ∨ x2 − y 2 = 0 (b) (∀x ∈ B)(∃y ∈ A) (xy ≥ 0 → (x + y) ∈ A) 15. Se supone que la proposici´n (∀x ∈ U ) p(x) es verdadera. o Determinar el valor de verdad de: (∃y ∈ U ) (p(y)) → (∃x ∈ U ) p(x)

16. Sea A = {∅, {1, 2} , {1} , {∅} , 1, {2}}.¿Cu´les de las siguientes afirmaa ciones son verdaderas y por qu´?. e a) 1 ∈ A b) 2 ∈ A c) 2 ⊆ A d) {2} ∈ A e) {2} ⊆ A f) ∅ ⊆ A y ∅ ∈ A g) 1 ∈ A y {1} ∈ A h) {1, 2} ∈ A i) {{1, 2}} ⊆ A j){∅} ⊆ A 17. Dados los conjuntos A = {a, b, c, d} ; B = {a, b, e, f, g} ; C = {b, c, e, h} y el universo U = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Expresar cada uno de los conjuntos siguientes en t´rminos de sus elementos: e a) A ∩ C b) A ∪ C c) A − B d) Ac e) Ac ∪ B c f) B c ∩ C g) (A ∩ B) − B h) (B ∩ C c )c i) B c − Ac j) (C − B) − A k) C − (B − A) 18. Probar que: (a) (A ∪ B c ) ∩ B = A ∩ B (b) (A ∩ B) ∪ (A∩ B c ) = A (c) (Ac ∪ B)c ∪ (Ac ∪ B c )c = A (d) A ∪ B = B ∪ (A − B) (e) B ∩ (A − B) = ∅ (f) (A − B) ∩ (A ∩ B) = ∅ (g) (A ∩ B) ∪ (B ∩ C)c = A ∪ B c 19. Considere los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ; B = {2, 4, 6, 8} ; C = {1, 3, 5, 7, 9}; D = {3, 4, 5} y E = {3, 5}. En cada caso, ¿a qu´ cone juntos de los dados puede ser igual a X? si (a) X y B son disjuntos, es decir, X ∩ B = ∅. (b)...