Hielo

Vectores ortogonales y ortonormales

Vectores ortogonales
Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero.

Ejemplo

Vectores ortonormales
Dos vectores son ortonormales si:
1. Su producto escalar es cero.
2. Los dos vectores son unitarios.

Ejercicios

Calcular el valor de k para que los vectores  = (1, m) y  = (-4, m) sean ortogonales.
 ·  = 0 -4 + m2 = 0; m = ± 2Si { , } forma una base ortonormal, calcular:
1  ·  = 1 · 1 · cos 0° = 1
2  ·  = 1 · 1 · cos 90° = 0
3  ·  = 1 · 1 · cos 90° = 0
4  ·  = 1 · 1 · cos 0° = 1

Suponiendo que respecto de la base ortonormal {, } del plano los vectores  tienen como expresiones:

Calcular el valor de k sabiendo que .

Suponiendo que respecto de la base ortonormal {, } del plano los vectores  tienen comoexpresiones:

Calcular el valor de k para que los dos vectores sean ortogonales.

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Base ortonormal
En álgebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que loselementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal.
Así,una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma de cada elemento que la compone es unitaria.
Estos conceptos son importantes tanto para espacios de dimensión finita como de dimensión infinita. Para espacios de dimensión finita, la condición de span denso es la misma que la de 'span', como se usa en álgebra lineal.
Una base ortonormal por lo general no es una "base", es decir, engeneral no es posible escribir a cada elemento del espacio como una combinación lineal de un número finito de elementos de la base ortonormal. En el caso de dimensión infinita, esta distinción cobra importancia: la definición dada requiere solo que el span de una base ortonormal sea densa en el espacio vectorial, y no que iguale al espacio entero.
Una base ortonormal de un espacio vectorial V notiene sentido si el espacio no posee un producto interno. Un Espacio de Banach no tendrá una base ortonormal a no ser que sea un espacio de Hilbert.
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[editar]Ejemplos
* El conjunto {e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)} (la base canónica) forma una base ortonormal de R3.
Demostración: Mediante un cálculo directo se verifica que 〈e1, e2〉 =〈e1, e3〉 = 〈e2, e3〉 = 0 y que ||e1|| = ||e2|| = ||e3|| = 1. Así, {e1, e2, e3} es un conjunto ortonormal. Para un (x,y,z) cualquiera en R3 tenemos

entonces, {e1,e2,e3} reconstruye R3 y por lo tanto tiene que ser una base. También puede demostrarse que la base estándar rotada alrededor de un eje que pasa por el origen o reflejada en un plano que pasa por el origen forma también una base ortonormal de R3.* El conjunto {fn : n ∈ Z} con fn(x) = exp(2πinx) forma una base ortogonal del espacio complejo L2([0,1]). Este es un resultado fundamental para el estudio de series de Fourier.
* El conjunto {eb : b ∈ B} con eb(c) = 1 si b=c y 0 en caso contrario forma una base ortonormal de l2(B).
* Eigenfunciones de un Eigenproblema de Sturm-Liouville.-------------------------------------------------
[editar]Construcción
Al igual que con una base ortogonal, se puede crear un arreglo de bases ortonormales para formar una matriz ortonormal.
Para poder construir una base ortonormal de una base cualquiera es necesario primero ortogonalizar a la base para luego ortonormalizarla. Existe el método de ortonormalización de Gram-Schmidtcon el cual es posible realizar lo anterior....