Historia de los números complejos

Historia de los números complejos
La primera referencia escrita de la raíz cuadrada de un número negativo la encontramos en la obra Stereometría de Herón de Alejandría Es este trabajo comparece la operación 81-144 aunque es tomada como 144-81, no sabiéndose si este error es debido al propio Herón o al personal encargado de transcribirlo. La siguiente referencia sobre esta cuestión se data en elaño 275 en la obra de Diophantus (aprox. 200-284) Arithmetica. En su intento de cálculo de los lados de un triángulo rectángulo de perímetro 12 y área 7, Diophantus planteó resolver la ecuación 336x²+24 = 172x, ecuación de raíces complejas como puede ser comprobado fácilmente. Pero no es sino hasta alrededor del año 850, cuando Mahavira, matemático hindú, comenta: “como en la naturaleza de lascosas una cantidad negativa no es un cuadrado por lo tanto no puede tener raíz cuadrada”. Y alrededor de 1150, Bhaskara, matemático hindú, describe lo anterior de la siguiente forma: “El cuadrado de un número, positivo o negativo, es positivo; la raíz cuadrada de un número positivo tiene dos valores, uno positivo y otro negativo; no existe raíz cuadrada de un número negativo ya que un número negativono es un cuadrado”.

Primeros estudios
Girolamo Cardano fue un destacado matemático, así como también médico, filósofo, astrónomo y teólogo. Girolamo nace el 24 de Septiembre de 1501, como hijo ilegítimo de Fazio y Chiara Micheria. En el año de 1539, Cardano conoce al célebre matemático Tartaglia. Tartaglia era un matemático de reconocida fama y prestigio, entre otras cosas, por haber ganadoconcursos sobre la resolución de ecuaciones, usando métodos secretos. Aparte de poseer estas habilidades, fue un experto en el estudio de las trayectorias de los proyectiles. Tartaglia le enseñó a Cardano sus trucos y técnicas secretas para el manejo de las ecuaciones. En 1545, Cardano publica su obra Ars Magna, donde expone los métodos para la resolución de la ecuación cúbica, aunque la fórmulapara resolver la ecuación cúbica, había sido descubierta mucho antes por el matemático Scipione del Ferro, quien lo publicó en un pequeño libro, que en alguna oportunidad fue consultado por Cardano. En aquella obra aparecen muchos resultados originales, como el método para eliminar la x² en una ecuación cúbica, conocido como el método de Cardano. También desarrolló un método para resolver ecuacionesdiferenciales, llamado método de las proporcionales.

Cardano aplicaba entonces su algoritmo al sistema de ecuaciones x + y = 10, xy = 40 dando como soluciones (5 + 15) (5 - -15) = 25 - (-15) = 40

Fueron entre las soluciones a la ecuación cúbica en el libro de Cardano donde se dio el nacimiento de los números complejos, como algo digno de ser estudiado por los matemáticos.

Enparticular, para la ecuación x³ = 3px + 2q Cardano nos da la fórmula (fórmula del Ferro-Tartaglia-Cardano): x = 3q+ q²-p³ + 3q- q²-p³ Rafael Bombelli Bombelli puede ser llamado con todo derecho, el padre de los números complejos, pues fue el primero que desarrolló el algebra formal para trabajar con las expresiones de la forma a + b-1. Hemos visto en la fórmula de del Ferro-Tartaglia-Cardano, aparecen dossumandos del tipo 3q+ q²-p³ La idea de Bombelli, es reducir dicho número a uno del tipo a + b-1, para lo cual debe resolver el

problema de como sumar y multiplicar dichas expresiones. El número a + b-1 debe ser elevado al cubo, para obtener una expresión del tipo 3c+d-1 Usando ahora los números complejos, se

pueden obtener soluciones reales de la ecuación cúbica. En el libro L'Algebra,aparecen por vez primera el cálculo con los números negativos, así como también las reglas para sumar y multiplicar dichos números. El gran aporte de Bombelli al álgebra, fue el de aceptar sin reserva la existencia de -1 como un número. A manera de ejemplo, Bombelli nos da las siguientes reglas:

-n · - -n = n
Siendo “n” un número natural.

-n · -n = -n

A principios de 1620, Albert Girard...