Historia del cálculo integral

UNIDAD 1
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

1.1 Antecedentes históricos del Cálculo Integral

“El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en la que se estudia el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones ysólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.”[1]

“Los orígenes del cálculo integral se remontan, como no, al mundo griego; concretamente alos cálculos de áreas y volúmenes que Arquímedes realizó en el siglo III a.C. Aunque hubo que esperar mucho tiempo, hasta el siglo XVII, ¡2000 años!, para que apareciera -o mejor, como Platón afirmaría, para que se descubriera- el cálculo. Varias son las causas de semejante retraso. Entre ellas debemos destacar la inexistencia de un sistema de numeración adecuado -en este caso el decimal- así comodel desarrollo del álgebra simbólica y la geometría analítica que permitieron el tratamiento algebraico -y no geométrico- de las curvas posibilitando enormemente los cálculos de tangentes, cuadraturas, máximos y mínimos, entre otros. Todo ello ocurrió principalmente en el siglo XVII.

Ya los griegos se habían preocupado de cómo tratar ese ente tan curioso -como difícil- que es el infinito.Para los griegos el infinito aparece de dos maneras distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. Ya se vislumbra de algún modo en la inconmensurabilidad de la diagonal del cuadrado; también, claro está, lo tenemos en la famosa paradoja de Zenón sobre Aquiles y la tortuga, por ello no es de extrañar que alguien intentara regularlos. Ese alguien fue Aristóteles. Lo que hizo fueprohibir el infinito en acto "no es posible que el infinito exista como ser en acto o como una substancia y un principio", escribió, pero añadió "es claro que la negación absoluta del infinito es una hipótesis que conduce a consecuencias imposibles" de manera que el infinito "existe potencialmente [...] es por adición o división". Así, la regulación aristotélica del infinito no permite considerar unsegmento como una colección de puntos alineados pero sí permite dividir este segmento por la mitad tantas veces como queramos. Fue Eudoxio, discípulo de Platón y contemporáneo de Aristóteles quien hizo el primer uso "racional" del infinito en las matemáticas. Eudoxio postuló que "toda magnitud finita puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada". Es el famoso principiode Arquímedes que éste toma prestado a Eudoxio y que sirvió a aquél para superar la primera crisis de las Matemáticas -debida al descubrimiento de los irracionales-.

No obstante, fue Arquímedes el precursor del cálculo integral aunque desgraciadamente su método se perdió y por tanto no tuvo ninguna repercusión en el descubrimiento del cálculo -recordemos que su original método "mecánico" dondeademás se saltaba la prohibición aristotélica de usar el infinito in acto se perdió y solo fue recuperado en 1906... La genial idea del siracusano fue considerar las áreas como una colección -necesariamente infinita- de segmentos. Habrá que esperar 2000 años hasta que otro matemático -en este caso Cavalieri- volviera a usar de esa manera los infinitos. De hecho Leibniz descubrió la clave de sucálculo al ver un trabajo de Pascal donde éste usaba un método semejante.

La necesidad de entender obras griegas difíciles como las de Arquímedes tuvo gran influencia en el nacimiento del cálculo. -ya en el siglo XVII se habían recuperado y se dominaban la mayoría de las obras griegas.

También ayudó al surgimiento del cálculo los cambios de actitud en la matemática del siglo XVII quizá...