Historia del álgebra vectorial

Septiembre de 2009, Número 19, páginas 63-76
ISSN: 1815-0640

Desarrollo histórico del álgebra vectorial
Antonio Rosales Góngora

Resumen
Hacemos un recorrido histórico del álgebra vectorial, desde la síntesis inicial hecha
por Euclides en sus Elementos, pasando por los esfuerzos de Leibniz para encontrar
un análisis geométrico distinto del algebraico, hasta los trabajos de Hamilton yGrassmann. Terminaremos con las conclusiones de Gibbs sobre la polémica
cuaternalista y la presentación conjunta que hace de las ideas de Hamilton y
Grassmann.
Abstract
We look at the history of vector algebra from the initial synthesis by Euclid in his
Elements, through the efforts of Leibniz to find a different analysis of algebraic
geometry, to the work of Hamilton and Grassmann. ends withconclusions on the
controversy of Gibbs cuaternalista and presentation that makes the ideas of
Hamilton and Grassmann.

Resumo
Fazemos um recorrido histórico da Álgebra vetorial, desde a sínteses inicial feita por
Euclides em seus Elementos, passando pelos esforços de Leibniz para encontrar
uma análise geométrica diferente da algébrica, até os trabalhos de Hamilton e
Grassmann.Terminaremos com as conclusões de Gibbs sobre a polêmica dos
quaterniões e a apresentação conjunta que faz das idéias de Hamilton e
Grassmann.

1.

Introducción

A nivel elemental, es común considerar el álgebra como la ciencia de los
números y la geometría como la de las figuras, del espacio, considerándolas como
partes diferenciadas de las matemáticas. Sin embargo, la evolución del pensamientomatemático ha tendido a unirlas estableciendo una síntesis entre ellas y abriendo
nuevos campos. Esta unión origina, a finales del XIX, el Álgebra vectorial formulada
por Gibss y Heaviside.
En los “Elementos” de Euclides se encuentra la primera síntesis entre álgebra
y geometría, al dar una solución geométrica a un problema aritmético: definición de
razón sin usar los números naturales. Estasíntesis tuvo nefastas consecuencias
para las matemáticas griegas pues se abandonan los procesos infinitos, que
constituyeron un intento de solución parecida a las cortaduras de Dedekind, e

REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA – SEPTIEMBRE DE 2009 - NÚMERO 19 - PÁGINA 63

Desarrollo histórico del álgebra vectorial
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incluso el álgebra babilónica y secrea un álgebra geométrica que, para algunos,
mató la matemática griega.
El álgebra fue reinventada en el mundo árabe y, siglos después, una nueva
relación, conocida como geometría analítica, fue iniciada con Descartes. En efecto,
en lugar de geometrizar el álgebra, Descartes algebriza la geometría desarrollando
el álgebra en un lenguaje geométrico1. Quizás lo más significativo fue descartar laidea griega de representar el producto de dos segmentos de línea por un rectángulo,
y dar, en su lugar, una regla para multiplicar segmentos de línea que da otro
segmento de línea en correspondencia con el producto numérico y evitando las
limitaciones de la regla griega de multiplicación geométrica y abandonando el
principio de homogeneidad.
Descartes trabaja con productos geométricos decualquier orden y muestra
como describir curvas mediante ecuaciones algebraicas, iniciando la geometría
analítica y dando un gran paso en el desarrollo del lenguaje matemático.
Pero, este método cartesiano establece una especie de matemática ciega,
abandona la idea física por cálculos matemáticos sobre las componentes cuando lo
que se busca es sustituir las coordenadas cartesianas por símboloscuya sola
mirada basten para tener una imagen de su significado físico. La síntesis cartesiana
es, por tanto, provisional hasta encontrar un análisis geométrico distinto del análisis
algebraico.
Leibniz anticipa las líneas programáticas de este análisis geométrico. En una
carta del 8 de septiembre de 1679 escribía a Huygens2 :
“Aún no estoy contento con el álgebra, porque en geometría no da...