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ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS

Elementos notables de un triángulo
Medianas y centro de gravedad de un triángulo.
El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto se llama mediana.
Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto, G en la figura, llamado centroide o baricentro del triángulo. Si éste es de densidad homogénea, entonces el centroide G es el centrode masas del triángulo.
Cada una de las tres medianas dividen el triángulo en dos triángulos de áreas iguales. La distancia entre el baricentro y un vértice son 2/3 de la longitud de la mediana.
Las tres medianas dividen al triángulo en 6 triángulos de áreas iguales. Demostración: por simetría, para un triángulo equilátero. Un triángulo cualquiera con sus tres medianas puede transformarse en untriángulo equilátero con su tres medianas mediante una transformación afín o una transformación lineal. El jacobiano (el factor por el que aumentan o disminuyen las áreas) de una transformación afín es el mismo en cualquier punto, de lo que se deduce la proposición que encabeza este párrafo.
Mediatrices y circunferencia circunscrita de un triángulo.
Se llama mediatriz de un lado de un triángulo ala recta perpendicular a dicho lado trazada por su punto medio (también llamada simetral). El triángulo tiene tres mediatrices, una por cada uno de sus lados [AB], [AC] y [BC].
Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes en un punto O equidistante de los tres vértices. La circunferencia de centro O y radio OA que pasa por cada uno de los tres vértices del triángulo es la circunferenciacircunscrita al triángulo, y su centro se denomina circuncentro.
* En un triángulo acutángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está dentro del triángulo.
* En un triángulo obtusángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está fuera del triángulo.
* En un triángulo rectángulo, el centro de la circunferencia circunscrita es el punto medio de la hipotenusa.Propiedad
Un triángulo es rectángulo si y sólo si el centro de su circunferencia circunscrita es el punto medio de su hipotenusa.
Bisectriz y circunferencia inscrita
Bisectrices y circunferencia inscrita de un triángulo.
Las bisectrices de un triángulo son las tres bisectrices de sus ángulos internos.
Las tres bisectrices de un triángulo son concurrentes en un punto O. La circunferencia inscritadel triángulo es la única circunferencia tangente a los tres lados del triángulo y es interior al triángulo. Tiene por punto central el incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.
Alturas y ortocentro
Alturas y ortocentro de un triángulo.
Se llama altura de un triángulo a cada una de las tres rectas que pasan por un vértice del triángulo y que son perpendiculares allado opuesto del vértice. La intersección de la altura y el lado opuesto se denomina «pie» de la altura.[6]
Estas 3 alturas se cortan en un punto único H llamado ortocentro del triángulo.[7]
Notas:
* Un triángulo es rectángulo si y sólo si su ortocentro es el vértices recto del triángulo.
* Un triángulo es obtusángulo si y sólo si su ortocentro se encuentra fuera del triángulo.
*Un triángulo es acutángulo si y sólo si su ortocentro está dentro del triángulo.
Recta de Euler
Recta de Euler de un triángulo.
Los tres puntos H, G y O están alineados en una línea recta llamada recta de Euler del triángulo y verifica la relación de Euler.
Los puntos medios de los tres lados, los tres pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos [AH], [BH] y [CH] están en unamisma circunferencia llamada circunferencia de Euler o circunferencia de los nueve puntos del triángulo.
Área de un triángulo
El área de un triángulo suele expresarse por una fórmula de lo más sencilla: es igual al semiproducto de la base por la altura.
Esto vale para cualquier triángulo plano.
Área con fórmula de Herón
Conociendo la longitud de los tres lados se puede calcular el área para...