Hola

Taller avanzado de resoluci´n de problemas
o
Marco Antonio “El Ni˜ o” Figueroa Ibarra (fuerunt@gmail.com)
n
22 y 23 de marzo de 2013

1.

Factorizaciones utiles
´
Algunas de las factorizaciones m´s usadas en la resoluci´n de problemas de olimpiada son
a
o
x2 − y 2
xn − y n

xn + y n
x4 + 4y 4

=
=
=
=

(x + y)(x − y)
(x − y)(xn−1 + xn−2 y + · · · + y n−1 )

(x + y)(xn−1− xn−2 y + · · · + y n−1 ), para n impar
(x2 + 2y 2 + 2xy)(x2 + 2y 2 − 2xy)

Adem´s del siguiente hecho: si p es un polinomio con coeficientes enteros, entonces a − b divide a p(a) − p(b).
a
Cuando nos encontremos con un polinomio con coeficientes enteros, es muy probable que este hecho nos ayude.
Un buen ejemplo de c´mo usar factorizaciones en teora de n´meros es resolver la ecuaci´n
o
uo
x2 + y 2 = z 2
en los enteros positivos. Si la terna de enteros (x, y, z) cumple esta ecuaci´n, es llamada una terna pitag´rica, pues
o
o
(x, y, z) ser´ las longitudes de los lados de un tri´ngulo rect´ngulo. Ahora, si (x, y, z) es una terna pitag´rica
ıan
a
a
o
y existe un primo p que divide a dos n´meros en {x, y, z}, tiene que dividir al tercero. Luego, ( x , y , z ) es una
u
p pp
terna pitag´rica. Esto nos dice que basta que consideremos las ternas pitag´ricas tales que no hay un primo
o
o
que divida a dos de sus elementos. Es decir, x, y e z son coprimos dos a dos (que es diferente a que sean solo
coprimos). Estas ternas son llamadas primitivas.
Hay una manera muy sencilla de ver que hay infinitas ternas pitag´ricas primitivas: si x = n y z = n + 1
o
obtenemosque z 2 = 2n + 1. Luego, basta elegir un n tal que 2n + 1 sea un cuadrado perfecto y se obtiene la
√
a
terna (n, 2n + 1, n + 1). ¡Veamos que hay m´s!
Por paridad, exactamente uno en {x, y, z} es par. Si z fuera el par, usando que los cuadrados dejan residuo
0 o 1 al ser divididos entre 4, llegamos a que
2 ≡ x2 + y 2 ≡ z 2 ≡ 0 (m´d 4)
o
lo que es una contradicci´n. Luego, z es impar y podemossuponer, sin p´rdida de generalidad, que el par es y,
o
e
y = 2n. Ahora
4n2 = y 2 = z 2 − x2 = (z + x)(z − x).
Notamos que z + x y z − x tienen la misma paridad y como su producto es par, tienen que ser ambos pares.
Dividiendo entre 4,
n2 =

z+x
2

z−x
2

.

Ahora notamos que los enteros z+x y z−x son primos relativos, pues su suma es z y su resta es x. Como
2
2
su producto esigual a un cuadrado perfecto, ambos tienen que ser cuadrados perfectos. Luego, existen enteros
ı
a
positivos a, b con a > b (adem´s, con distinta paridad) tales que a2 = z+x y b2 = z−x . De aqu´ es f´cil llegar a
a
2
2
que z = a2 + b2 , x = a2 − b2 y y = 2ab.
1

Conclusi´n: toda terna pitag´rica primitiva es de la forma (a2 − b2 , 2ab, a2 + b2 ) con a y b enteros coprimos
o
o
condistinta paridad y a > b.
Problema. Demuestra que no existe un polinomio con coeficientes enteros tal que f (7) = 11 y f (11) = 13.
Soluci´n. Si existiera dicho polinomio, tendr´
o
ıamos que 11 − 7 = 4 divide a f (11) − f (7) = 13 − 11 = 2, lo cual
es falso.

1.1.

Problemas

1. Del 1 al 100, inclusive, ¿cu´ntos enteros positivos pueden escribirse como la resta de cuadrados perfectos?
a2. Un entero positivo es escrito en cada cara de un cubo. En cada v´rtice del cubo escribimos el producto de
e
las tres caras que llegan a ´l. La suma de los n´meros en los v´rtices es igual a 1001. Encuentra la suma
e
u
e
de los n´meros de las caras del cubo.
u
3. Encuentra todos los tri´ngulos rect´ngulos con lados enteros tales que su ´rea y su per´
a
a
a
ımetro son iguales.
4.¿Cu´l es el entero positivo n m´s grande tal que n3 + 100 es divisible entre n + 10?
a
a
5. Encuentra todas las soluciones enteras de cada una de las siguientes ecuaciones:
a) x + y = xy.
b) x2 − y 2 = 2xyz.
6. Sean a, b y c tres enteros diferentes y sea P un polinomio con coeficientes enteros. Demuestra que es
imposible que P (a) = b, P (b) = c y P (c) = a.

2.

De los divisores y m´...