hola

La Transformada de Laplace.
El método de la transformada de Laplace proporciona una forma eficiente para resolver ecuaciones
diferenciales ordinarias lineales.con coeficientes constantes. Una clase importante de problemas de
control se reduce a la solución de tales ecuaciones.


f s    f t e st dt
0

f s   L f t 
Ejemplo 1.- Encuentre la Transformada de Laplace de lafunción f(t) = 1

 e st

1e dt 
f s   
s




 st


0





 1  0  1  1
 1  1  1
0  1  1
e  e     1    1 
s
s e
s
 s   s

0

Entonces L1 

1
s

Hay algunos hechos valiosos hasta este momento.
1.- La transformada de Laplace f(s) no contiene información acerca del comportamiento de f(t) para t
menor que cero. Esto no esuna limitación para el estudio de sistemas de control porque t representara
la variable tiempo y será insertada en el comportamiento de sistemas únicamente para tiempo
positivos. De hecho, las variables y sistemas son usualmente definidos tal que f(t) = 0 para tiempo
menor que cero.
2.- Como la transformada de Laplace esta definida por una integral impropia, no existirá para cada
funciónf(t).
3.- La transformada de Laplace es lineal.

Laf1 t   bf2 t   aL f1 t  bL f 2 t 
A y b son constantes.
4.- El operador de la transformada de Laplace transforma una función de la variable t a una función de
la variable s. La t es eliminada por la integración.
Transformada de Funciones Simples.
1.- La función escalon.

0, t menor que 0
f t   
  u t 
1, t 0

Esta expresión también se llama función de Heaviside.

Lut  

1
s

Como se esperaba, el comportamiento de la función para t menor que cero no tiene efecto sobre su
transformada de Laplace.
Si f(t) = Au(t), f(s) = A/s.
2.- La function exponencial.

0, t menor que 0
at
f t    at
  ut e
e , t  0

Donde u(t) es la función de escalon unitario o de Heaviside.

L ut e

at



  e



 s a t

0


1
1
dt  

 s a t 
s  a e
0 s  a

Dado que (s+a) mayor que cero, o sea s mayor que –a
3.
La función Rampa.é

0, t menor que 0
f t   
  tu t 
t , t  0



t 1  1
Ltu t    te st dt  est   2   2
s s  s
0
4.- La función seno.

0, t menor que 0
f t   
  u tsenkt 
senkt , t  0 




 est
ssenkt   k coskt   2 k 2
Lut senkt    senkt e dt  2
2
s k
s k
0
0
st

Para integrar se uso el método por partes.
Transformada de derivadas.
Se mostrara que la transformada de Laplace tiene la importante propiedad de transformar la operación
de la diferenciación con respecto a t a aquella de multiplicación por s. df t 
L
  sf s   f 0
 dt 
Donde f s   L f t  y f(0) es f(t) evaluado en t = 0. Es esencial que f(0) no se interprete como f(s) con
s = 0.
Prueba.

df st
 df t 
L
   e dt
 dt  0 dt






Integrar por partes, sea udv  uv  vdu

u  e st , dv 

df
dt  df , du  se st dt, v  f t 
dt

df st
 df t 
st 
st
L
   edt  f t e 0    se f t dt 
 dt  0 dt
0














 f es    f 0e0  s  est f t dt  0  f 01  sf s   sf s   f 0
0

Ahora la transformada de la segunda derivada.

d 2 f
L 2
 dt


 d  df 
 df  df
  L    sL  
 dt  dt
 dt  dt 


 s 2 f s   sf 0 

df
dt

 ssf s   f 0 
t 0df
dt

t 0

t 0

En general

d n f  n
df
L n   s f s   s n1 f 0  s n2
dt
 dt 
Ejemplo.

d n2
 ...  s n2
dt
t 0

df n1
 n1
dt t 0
t 0

Resolver la ecuación diferencial usando el método de la transformada de Laplace.

dx
 x  1, x0  0
dt
Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación diferencial se obtiene:

sxs   x0  xs...