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4 Algebra II Lista 1 Ejercicio 1. Sea K el conjunto de todos los n´meros que se pueden escribir en la forma u √ √ a+b 2, donde a, b ∈ Q. Demostrar que k es un campo. (Notaci´n: K ={a+b 2|a, b ∈ Q}.) o Ejercicio 2. Sea K el conjunto de todos los n´meros que se pueden escribir de la u forma a + bi, donde a, b ∈ Q , i2 = −1. Demostrar que K es un campo.(Notaci´n: o K = {a + bi|a, b ∈ Q, i2 = −1}.) Ejercicio 3. Sea c ∈ Q con c > 0 y sea γ un n´mero real tal que γ 2 = c. Demostrar u que el conjunto de todos los n´meros que se pueden escribiren la forma a + bγ, donde u a, b ∈ Q, es un campo. Ejercicio 4. Si p es un n´mero primo, el conjunto de los enteros m´dulo p: Z/pZ, u o con las operaciones ”heredadas”de Z forman uncampo. Considere el caso p = 5: Z/5Z = {0, 1, 2, 3, 4}. Construya las tablas de adici´n y multiplicaci´n. Y demuestre que en efecto o o es un campo. Ejercicio 5. Demuestre que en unespacio vectorial V el neutro aditivo es unico. Tam´ bi´n demuestre que dado v ∈ V , v tiene un unico inverso aditivo. e ´ Ejercicio 6. Sea K un campo. Verifique que K4 con la adici´ny la multiplicaci´n por o o escalares definida en el ejemplo (2) satisface todas las condiciones de espacio vectorial. Ejercicio 7. a) b) c) (d) Sea V un espacio vectorial sobre elcampo K. Demostrar que:

0 · v = 0, ∀ v ∈ V . c · 0 = 0, ∀c ∈ K. Si c · v = 0, entonces c = 0 ´ v = 0. o ∀c ∈ K y v ∈ V , (−c) · v = −c · v.

Ejercicio 8. Def. Sean K y F campos, ysup´ngase que K est´ contenido en F(es decir, o a que K es un subconjunto de F). Entonces diremos que K es un subcampo de F. Ejemplo: Tenemos que R es un subcampo de C, Q es unsubcampo de R. Sea K un subcampo de un campo F. Demostrar que F es un espacio vectorial sobre K con las operaciones usuales. En particular, C y R son espacios vectoriales sobre Q.

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