identificacion de superficies

IDENTIFICACIÓN DE
SUPERFICES CUÁDRICAS

LUIS HUMBERTO SORIANO SÁNCHEZ
Captura:
Hanna Leslye García Guerra
Evelyn Salazar Guerrero

IDENTIFICACIÓN DE SUPERFICIES CUÁDRICAS
Definición. Se llama superficie al conjunto de puntos, y solamente de aquellos puntos,
cuyas coordenadas satisfacen una sola ecuación de la forma
F(x, y, z) = 0
Definición.

Se llama superficie cuádrica, osimplemente cuádrica, aquella cuya
ecuación es de la forma:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 .......... (a)
En donde, por lo menos, de los seis coeficientes A, B, C, D, E y F es
diferente de cero.

Las superficies se clasifican en:
i)
ii)
iii)
iv)
v)

Elipsoides.
Paraboloides.
Cilindros.
Conos
Hiperboloides.

En el caso de que los tres coeficientes D, E y F seannulos simultáneamente, el eje o
los ejes de la superficie son paralelos a los ejes coordenados. En estas circunstancias,
los signos de los coeficientes A, B y C permiten hacer una pre-identificación de la
superficie:
Si A, B y C tienen el mismo signo, la ecuación representa un elipsoide.

Como un caso particular, la ecuación puede representar un punto.
Por ejemplo, la ecuación (x − 1)2 +(y + 3)2 + z 2 = 0 representa al punto de coordenadas
(1, -3, 0).
También, puede representar el caso de que la ecuación no represente lugar geométrico
alguno.
Por ejemplo, la ecuación x 2 + y 2 + z2 + 16 = 0 no representa lugar geométrico alguno ya
que no existen valores reales de x, y y z que la satisfagan.
Si dos de los coeficientes son positivos y el otro es negativo, la ecuaciónrepresenta un
hiperboloide o un cono.
Z

Z

Y

Y

X

X

x 2 + y 2 − z2 = 0

x 2 + y 2 − z2 = 1

Si uno de los coeficientes A, B o C es nulo, la ecuación representa un paraboloide.
Z

Y

X

x2 + y2 − z = 0

Si dos coeficientes A, B o C son nulos, la ecuación representa un cilindro parabólico.
Z
X
Y

4x 2 + y + 4z = 0

Si los coeficientes A, B y C son nulos, la ecuaciónrepresenta un plano (en este caso, la
superficie no es cuádrica).
Z

2
6
Y

2x + y + 3z − 6 = 0

3
X

Si la ecuación (a) consta tan solo de dos variables, representa un cilindro recto cuya
recta generatriz es perpendicular al plano coordenado cuyas variables aparecen en la
ecuación. En esta situación, el cilindro toma el nombre de la curva directriz.
Z

x2 + y2 = 4
Cilindrocircular recto

Y

X

Como un caso particular, la ecuación puede representar un par de planos que se cortan
o una recta paralela a un eje coordenado.
Y
Z

L:

X=1
Y=2

X
Z

Y

X

x2 − y2 = 0

(x − 1)2 + (y − 2)2 = 0

Dos planos que se cortan

Recta paralela al eje Z

Si la ecuación (a) consta de tan solo una variable, representa uno o dos planos
paralelos a alguno de losplanos coordenados (en este caso, tampoco se trata de una
cuádrica).
Z

Z − 4 = 0 ⇒ Z = 2 y Z = −2

2
Y
X

-2

Para identificar con toda precisión a la superficie, se pueden completar trinomios
cuadrados perfectos en la ecuación (a) y se hace referencia a las siguientes:

Gráficas y ecuaciones representativas de las superficies cuádricas.
1. ELIPSOIDE.

En caso de que lascoordenadas del centro sean (h, k, l):
(x − h)2 (y − k)2 (z − l)2
+
+
=1
a2
b2
c2
En caso de que dos semi-ejes sean iguales (a = b, por ejemplo), se trata de un elipsoide
circular o de revolución.
En caso de q ue dos de los semi-ejes sean iguales (a=b, por ejemplo), se trata de un
elipsoide circular o de revolución.
En caso de que los tres semi-ejes sean iguales (a=b=c), se trata de unaesfera.
Las trazas en los planos paralelos a los planos coordenados son elipses (o
circunferencias).

PARABOLOIDE ELÍPICO.
Z

Y
X

En caso de que las coordenadas del vértice sean (h, k, l):
(x − h)2 (y − k)2 z − l
+
=
c
a2
b2
En caso de que a = b, se trata de un paraboloide circular o de revolución.
La traza en el plano z = 1 es el punto de coordenadas (h, k, l). Las trazas en...