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TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

En su formulación más simple, la suma de n variables aleatorias independientes de varianza finita e idéntica distribución tiende a la distribución normal cuando n tiende a infinito. Existen otros teoremas más generales, conocidos también como teoremas centrales del límite, que no requieren que las variables sean independientes ni que las varianzas sean finitas,condición necesaria y suficiente para que el teorema sea válido. Aunque debido a Laplace y Gauss, fue demostrado rigurosamente por Liapu-nov en 1901; Feller, Khintchine y Levy hicieron aportaciones valiosas; durante las últimas décadas se hicieron importantes esfuerzos en favor de su generalización. Este teorema le confiere a la distribución normal un papel central en la teoría de la probabilidad y lateoría de las muestras

* El Teorema Central del Límite dice que si tenemos un grupo numeroso de variables independientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribución (cualquiera que éste sea), la suma de ellas se distribuye según una distribución normal.
Ejemplo : la variable "tirar una moneda al aire" sigue la distribución de Bernouilli. Si lanzamos la moneda al aire 50 veces, lasuma de estas 50 variables (cada una independiente entre si) se distribuye según una distribución normal.
Este teorema se aplica tanto a suma de variables discretas como de variables continuas.
Los parámetros de la distribución normal son:
Media :  n *  (media de la variable individual multiplicada por el número de variables independientes)
Varianza :  n * (varianza de la variableindividual multiplicada por el número de variables individuales)
Veamos ahora un ejemplo:
Se lanza una moneda al aire 100 veces, si sale cara le damos el valor 1 y si sale cruz el valor 0. Cada lanzamiento es una variable independiente que se distribuye según el modelo de Bernouilli, con media 0,5 y varianza 0,25. Calcular la probabilidad de que en estos 100 lanzamientos salgan más de 60 caras.La variable suma de estas 100 variables independientes se distribuye, por tanto, según una distribución normal.
Media = 100 * 0,5 = 50
Varianza = 100 * 0,25 = 25
Para ver la probabilidad de que salgan más de 60 caras calculamos la variable normal tipificada equivalente:

(*) 5 es la raiz cuadrada de 25, o sea la desviación típica de esta distribución
Por lo tanto:
P (X > 60) = P (Y> 2,0) = 1- P (Y < 2,0) = 1 - 0,9772 = 0,0228
Es decir, la probabilidad de que al tirar 100 veces la moneda salgan más de 60 caras es tan sólo del 2,28%.

ESTIMACION PUNTUAL (INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL)

1. 1.ESTIMACIÓN PUNTUAL
Si a partir de las observaciones de una muestra se calcula un solo valor como estimación de un parámetro de la población desconocido,el procedimientose denomina estimación puntual.
Por ejemplo queremos estimar la nota media de los alumnos de bachiller en la asignatura de matemáticas que notaremos. Sea X la variable aleatoria que indica la nota obtenida por cada estudiante. Tomamos una muestra de tamaño n y denotamos  la nota media de la muestra. Si al tomar una muestra de 100 estudiantes obtenemos que la media es 6´2, estenúmero lo tomaríamos como estimativo de. Decimos que 6´2 es una estimación puntual de.
Un estimador puntual T de un parámetro  es cualquier estadística que nos permita a partir de los datos muestrales obtener valores aproximados del parámetro .
Para indicar que T es un estimador del parámetro  escribimos  =T .
Con esto queremos decir que empleamos la expresión dadamediante T para obtener valores próximos al valor del parámetro.
Es muy probable que haya error cuando un parámetro es estimado. Es cierto que si el número de observaciones al azar se hace suficientemente grande, éstas proporcionarían un valor que casi sería semejante al parámetro; pero a menudo hay limitaciones de tiempo y de recursos y se tendrá que trabajar con unas cuántas observaciones. Para...
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