Inducción matemática

Inducción Matemática
El principio de Inducción Matemática es un método que se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas.
A menudo deseamos probar proposiciones de la forma ∀ n ∈N, pn. Por ejemplo:
(1) ∀ n ∈N, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …+ n = 12n(n+1)
(2) ∀ n ∈N, n-22=n2-2n+4.
(3) ∀ n ∈N, n par implica n2 par.
Las proposiciones (2) y(3) se pueden probar usando la tecnica de la variable “fija pero arbitraria”, pero esta no funciona con la proposición (1).
Una razon para que esta dificultad es que el lado itezquierdo de igualda no esta de forma cerrada y, por lo tanto, no se puede manipular algebraicamente.
En efecto, aún para entender que significa la expresión del lado izquierdo tenemos que recurrir a una propiedad de losnúmeros naturales: Dado un numero natural K existe un “siguiente” número natural, que se llama K + 1.
Así podriamos esperar que una demostración (1) involucre esta propiedada “siguiente”de los números naturales.
En efecto, la propiedad de N a que nos referimos es uno de los cinco postulados de Peano para los números naturales.

TEOREMA 1 (principio de inducción matemática) Sea S ⊆ N con lapropiedad que:
a) 1 ∈ S
b) ∀ k∈R, k ∈ R ⟶k+1 ∈S
Entonces S = N
Podemos usar el principio de inducción matemática para probar una proposición de la forma ∀ n ∈N, p(n) haciendo
S = { n ∈N: pn es verdadera}.
Así, concideramos que p(1) es verdadero 1 ∈S y pk ⟶pK+1k ∈S ⟶k+1 ∈S entonces S= N Ó ∀ n ∈ N, pn
En consecuencia, demostraciones usando el principio de inducción matemáticatoman la siguiente forma:
a) Mostrar que p(1) es verdadero.
b) Mostrar que pk⟶pk+1.
Ejemplo: Demostrar que ∀ n ∈N, 1+2+3+4+5 ⋯+n= 12nn+1.
Aquí p1 es “1= 1211+1; que es claramente verdadero.
Para completar la inducción se debe demostrar un cierta implicación (∀ k, pk⟶pk+1) es verdadera.
Usaremos nuestro método directo de demostración para esta proposición:
Elegimos un número narural kfijo pero arbitrario, asumimos que la hipótesis (p(k)) es verdadera y deducimos la validez de la conclusión (p(k + 1)).
Para comenzar, sea k∈N. Supongamos que p(k) es verdadero, esto es,
1+2+3+⋯+k=12kk+1.
Entonces,
1+2+3+⋯+k+k+1=12kk+1+k+1
=k+112k+1
= 12(k+1)(k+2)
Así, p(k+1) es verdadero, lo quecomplera la demostración.
Ejemplos.
a) Si x ≥ 0 entonces ∀ n ∈ N y (1+k)n≥1+xn.
Demostración por inducción: Cuando n = 1 se tiene 1 + x ≥ 1 x lo cual es verdadero.
Supongamos que x ≥ 0, k ∈N y (1+x)n≥1+xn. Entonces
1+xk+1=1+xk1+x
≥1+xk1+x
=1+xk+1+x+xk
≥1+xk+1
Lo que completa la demostración.
b) ∀ n N, n2≤n.
Cuando n = 1 se tiene 12 ≤ 1 lo cual es verdadero.
Supongamos que k∈N y k2≤k. Entonces
k+12≤k+1
k2+2k+1≤k+1
k2+2k+≤k
k2 ≤ -k
Lo que completa la demostración, con una conclusión diferente.
Ciertamente el resultado anterior es falso, de manera que debe existir algún error en la demostración.
c) ∀ n ∈N, Dxxn=nxn-1 (aquí Dx representa a la derivada con respecto a x).
Cuando n=1 se tiene Dxx1=1∙x1-1=1 lo cual es verdadero.
Supongamosque k∈N y Dxxk=kxk-1. Entonces
Dxxk+1=Dxx∙xk=1∙xk+x∙kxk+1
=xk+kxk=(k+1)xk
Lo que completa la demostración.

d) Para cada número natural n, n3-n es divisible por 3. En simbolos:
∀ n∈N, 3n3-n.
Recordemos que ab si y sólo si ∃c∈Z∋b=ac.
Cuando n=1 se tiene 313-1 ó 30 lo cual es verdadero ya que 0=3∙0.
Supongamos ahora que k∈N y 3k3-k. Esto significa que existe un entero, digamos m tal quek3-k=3m. Despues,
(k+1)3-k+1=k3+3k2+3k+1-k-1
=k3-k2+3k2+k
=3m+3k2+k
=3(m+k2+k)
Asi (k+1)3-(k-1) es divisible por 3 completando la prueba.
El principio de inducción matemática puede ser generalizado de la siguiente forma: Si S⊆Z tiene las propiedades:
1. n0∈S
2. ∀ n∈Z,n≥n0, n∈S⟶n+1∈S, entonces n∈Z :n≥n0⊆S.
Si además, n0 es el...