Inecuaciones Lineales

1. Para fabricar dos tipos de cables, A y B, que se venderán a 150 y 100 pta
el metro, respectivamente, se emplean 16 kg de plástico y 4 kg de cobre para cada
hm (hectómetro) del tipo A y 6 kg y 12 kg de cobre paca cada hm del tipo B.
Sabiendo que la longitud del cable fabricado del tipo B no puede ser mayor que el
doble de la del tipo A y que, además, no pueden emplearse más de 252 kg deplástico
ni más de 168 kg de cobre, determine la longitud, en hm, de cada tipo de cable que
debe fabricarse para que la cantidad de dinero obtenida en su venta sea máxima.

Con los datos anteriores se obtiene:

El objetivo es maximizar los ingresos: I(x, y) = 15000x + 10000y
restringido por: y ≤ 2x
16x + 6y ≤ 252
4x + 12 y ≤ 168
X ≥ 0; y≥0
Estas restricciones generan la región factible(sombreada) en la siguiente figura.

Los ingresos para esos niveles de producción son:
En O, I(0, 0) = 0.
En P, I(6, 12) = 210.000 pta
En Q, I(12, 10) = 280.000 pta
En R, I(15,75, 0) = 236.250 pta
Los ingresos máximos se obtienen fabricando 12 hm de cable de tipo A y 10 hm del tipo B.

2. El tratamiento de cierta enfermedad requiere la administración de dos complejos
vitamínicos, C1 y C2.Cada semana es preciso consumir al menos 450 mg de C1 y 200
mg de C2. Estos complejos se presentan en dos comprimidos diferentes. El
comprimido de color rojo que cuesta 25 pesetas la unidad y que contiene 15 mg de C1
y 25 mg de C2 y el comprimido de color azul que también cuesta 25 pesetas la unidad y
que contiene 28 mg de C1 y 10 mg de C2. ¿Cuántos comprimidos de cada color debe
tomar unindividuo en una semana para que el coste del tratamiento sea mínimo?
Explicar los pasos seguidos para obtener la respuesta.

Si compra x comprimidos de color rojo y y comprimidos de color azul se tendrá:

La función objetivo es minimizar el coste: C(x, y) = 25x + 25y
Restringida por: 15x + 28 y ≥ 450
25x + 10 y ≥ 200
x≥0; y≥0
Estas restricciones generan la región factible dada en lasiguiente figura.

Como sabemos, la solución, si existe, se encuentra en uno de los vértices de esa región, que son:

Trazando las rectas de nivel asociadas a la función objetivo, cuya ecuación es 25x + 25 = k, se observa que el mínimo valor se da en el punto B.
Por tanto, debe comprar 2 comprimidos de color rojo y 15 comprimidos de color azul. El coste
será de 425 pta.

3. Una empresa editaun libro en dos tipos de formato “normal” y de “bolsillo”, de un
ejemplar del primer formato se obtiene un beneficio de 5 unidades monetarias y de un
ejemplar del segundo 3. La producción de un ejemplar normal requiere 8 unidades de
materia prima y 4 unidades de tiempo y la de bolsillo 4 unidades de materia prima y 3
de tiempo, disponiendo para ello de 800 unidades de materia prima y 480unidades de
tiempo.
a) ¿Cuántos ejemplares de cada formato se han de editar para que el beneficio total sea
máximo? (8 puntos)
b) Si el beneficio de producir un ejemplar normal fuera de 4 unidades monetarias,
¿podría cambiar la solución del apartado anterior? (2 puntos)

Función objetivo: maximizar B(x, y) = 5x + 3y
Restricciones: 8x + 4y ≤ 800
4x + 3y ≤ 480
x ≥ 0; y ≥ 0
a) El conjunto desoluciones es el sombreado en la siguiente figura.

Como sabemos, la solución óptima (máximos y mínimos) se da en la frontera -el borde- de esa
figura; en particular en alguno de los vértices.
Las coordenadas de esos vértices son:

El beneficio en esos vértices es:
En O, B(0, 0) = 0.
En P, B(0, 160) = 480
En Q, B(60, 80) = 540
En R, B(100, 0) = 500.
El beneficio total máximo se alcanzaen el vértice Q; esto es, fabricando 60 libros de formato
normal y 80 de bolsillo.
b) En este caso, la función objetivo es B´(x, y) = 4x + 3y.
Los beneficios serán:
B´(O) = 0; B´(P) = 480; B´(Q) = 480; B´(R) = 400
El beneficio máximo es menor, de 480 unidades monetarias. Sigue valiendo la solución del
apartado anterior, pero se amplia a cualquier punto del segmento PQ. Esto es, también...