Inecuaciones matematica

5
Objetivos
En esta quincena aprenderás a: • Resolver inecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita. Resolver sistemas de ecuaciones con una incógnita. Resolver de forma gráfica inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Resolver de forma gráfica sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Plantear y resolver problemas con inecuaciones.

Inecuaciones

• •1.Inecuaciones de primer grado ……… pág. 74 con una incógnita Definiciones Inecuaciones equivalentes Resolución Sistemas de inecuaciones 2.Inecuaciones de segundo grado …… pág. 77 con una incógnita Resolución por descomposición Resolución general 3.Inecuaciones de primer grado ……… pág. 80 con dos incógnitas Definiciones Resolución gráfica Sistemas de inecuaciones 4.Problemas con inecuaciones …………pág. 83 Planteamiento y resolución Ejercicios para practicar Para saber más Resumen Autoevaluación Actividades para enviar al tutor

•

•

MATEMÁTICAS B

71

72

MATEMÁTICAS B

Inecuaciones
Antes de empezar

Para ponerte en situación
Las inecuaciones se utilizan con frecuencia para resolver problemas de mezclas. Aquí se te plantea un problema para que vayas investigando por tucuenta. En el capítulo 4 encontrarás la solución si no has conseguido hallarla tú solo. Un vinatero dispone en su almacén de dos tipos de vino: uno a 4€ el litro y otro a 7€ el litro. Quiere mezclarlos para llenar un tonel de 500 litros de capacidad y quiere que la mezcla no cueste más de 6€ ni menos de 5€ el litro. Averigua entre qué valores debe estar la cantidad de litros del primer tipo devino para que el precio final esté en el intervalo deseado.

Las imágenes adjuntas te presentan dos situaciones próximas a la solución del problema. Usa la calculadora para intentar aproximar más los resultados al valor real de la solución.

MATEMÁTICAS B

73

Inecuaciones
1. Inecuaciones de primer grado con una incógnita
Definiciones
Una desigualdad es cualquier expresión en la que seutilice alguno de los siguientes símbolos: < (menor que), > (mayor que) ≤ (menor o igual que), ≥ (mayor o igual que) Por ejemplo: 2π (siete es mayor que pi) x≤5 (x es menor o igual que 5) Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas. Aquí estudiamos sólo las de primer grado.

Una inecuación de primer grado es una inecuación en la que sus dos miembros son polinomios de gradomenor o igual a 1. Las soluciones de una inecuación son todos los números reales que hacen que dicha inecuación sea cierta.

Inecuaciones equivalentes
El proceso de resolución de inecuaciones que veremos después se basa (igual que en el caso de las ecuaciones) en la transformación de la inecuación inicial en otra equivalente más sencilla. Se dice que dos inecuaciones son equivalentes si tienen elmismo conjunto de soluciones. Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta la misma cantidad, se obtiene una inecuación equivalente. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una inecuación por una misma cantidad, se obtiene una inecuación equivalente con el mismo sentido de la desigualdad, si esa cantidad es positiva, y con el sentido contrario si esa cantidad es negativa.74

MATEMÁTICAS B

Inecuaciones
Resolución
Este proceso consiste en ir transformando la inecuación inicial en otras equivalentes más simples hasta que el resultado final sea de alguno de los siguientes tipos:

o hasta que el resultado final sea contradictorio, en cuyo caso, la inecuación no tiene soluciones.
EJEMPLO: x+2 ≤ 1 x ≤ -1

Restamos 2 a los dos miembros y queda:

Elconjunto de soluciones se representa de cualquiera de las siguientes maneras: b) Como intervalo: (−∞, − 1] c) En forma gráfica: a) Como conjunto: {x ∈ IR / x ≤ -1}

⎧x < 2 ⎨ ⎩x < 4

⇒

x ∈ (−∞,2) x ∈ (−∞,4)

Sistemas de inecuaciones
Un sistema de inecuaciones de primer grado es un conjunto de dos o más inecuaciones de primer grado. Para resolver un sistema de inecuaciones con una incógnita se...