Inecuaciones Polinomicas
Páginas: 7 (1727 palabras)
Publicado: 3 de octubre de 2012
Método general de resolución de inecuaciones.
En estas líneas se pretende ilustrar un método eficaz para la resolución de cualquier tipo de inecuaciones o desigualdades.
Reglas fundamentales y simbología:
A diferencia de las ecuaciones, en las que es indiferente leerlas de izquierda a derecha o viceversa, puesto que su signo “ = ” se lee siempre de la misma forma, en las inecuaciones, elsímbolo de inecuación tiene lectura distinta dependiendo del lado desde el que se lea. La siguiente tabla puede aclarar:
Lectura de izquierda a derecha 2x = 8 3x < 6 x+2 ≤ 3 5 > 1+2x Lectura de derecha a izquierda
dos equis es igual a ocho ocho es igual a dos equis tres equis es menor que seis seis es mayor que tres equis equis más dos es menor o igual que tres tres es mayor o igual que equismás dos cinco es mayor que uno más dos equis uno más dos equis es menor que cinco cinco equis es mayor o igual que equis equis cuadrado es menor o igual que 2 5x ≥ x cuadrado cinco equis dos es menor que equis, y equis es seis es mayor o igual que equis y equis 2 0
( -1 0
+
) 0 0
-
-
1 0
La solución de la inecuación - 2x4 + 2x3 + 2x2 - 2x > 0, es: x
Para la inecuación: - 2x4 +2x3 + 2x2 - 2x ≤ 0
] -1 0
+
[ 0 0
-
-
1 0
La solución de la inecuación -2x4 + 2x3 + 2x2 - 2x ≤ 0, es: x
Para la inecuación: -2x4 + 2x3 + 2x2 - 2x < 0
) -1 0
+
( 0 0
)( 1 0
-
La solución de -2x4 + 2x3 + 2x2 - 2x ≤ 0, es: x
Ejemplo 4: Resuelve la siguientes inecuaciones “raras”: a) b) x2 - 6x + 9 , ≥ 0 - 2x2 - 4x - 5 , ≥ 0
Nótese que vamos a resolver cadauna de esas cuatro inecuaciones con el trabajo que se requiere para resolver una. Pues como ya hemos argumentado anteriormente, el trabajo esencial para resolver una inecuación es construir la tabla de signos, y una vez que esta está construida, es válida para resolver
cualquier otra inecuación en la que solo cambia el símbolo de la desigualdad con respecto a la original. a) Si resolvemos laecuación x2 - 6x + 9 = 0 se tiene como solución doble x = 3, con lo cual la recta real queda dividida en dos regiones distintas y la tabla de signos queda de la siguiente forma:
+
3 Por tanto la solución de la inecuación: x2 - 6x + 9 ≥ 0 es x x - 6x + 9 > 0 es x x - 6x + 9 < 0 es x x - 6x + 9 ≤ 0 es x
2 2 2
+
óx
\
{3} ó x
es decir no tiene solución real. {3}
b) Si resolvemos laecuación - 2x2 - 4x - 5 = 0 se tiene que: x= .
Lo cual significa que la parábola que tiene asociada la expresión cuadrática y = - 2x2 - 4x - 5 no tiene puntos de corte con el eje OX, con lo cual sólo pueden ocurrir uno de los siguientes casos: Que o bien dicha parábola tenga su gráfica siempre por encima del eje OX, o bien que tenga su gráfica siempre por debajo del eje OX. Para decidir cuál delas dos situaciones es la que nos trata, basta con identificar el término director a = - 2, lo que indica que la parábola abre sus ramas hacia - luego está por debajo del eje OX. Una forma más general de comprobarlo, hubiera sido estudiar el signo de un número real cualquiera. Teniendo en cuenta que el signo que nos proporcione este candidato, coincidirá con el de cualquier otro.
Si x = 0 →¿signo de – 2(0) – 4·(0) - 5? → signo de – 5 = –
2
Como no existe solución real, la recta real queda dividida únicamente en una región distinta y la tabla de signos queda de la siguiente forma:
–
Por tanto la solución de la inecuación:
- 2x2 - 4x - 5 ≤ 0 es x - 2x2 - 4x - 5 < 0 es x - 2x2 - 4x - 5 > 0 es x - 2x2 - 4x - 5 ≥ 0 es x
óx óx es decir no tiene solución real. es decir no tienesolución real.
Tipo 2.- Inecuaciones RACIONALES: 1º) Se escribe la inecuación a resolver. 2º) Se escriben las ecuaciones formadas al igualar a cero el numerador y el denominador. 3º) Se resuelve estas ecuaciones. 4º) Se representan en la recta real la/s soluciones de dichas ecuaciones. De modo que si las ecuaciones tienen: 2 soluciones distintas, la recta real queda dividida en 3 regiones...
En estas líneas se pretende ilustrar un método eficaz para la resolución de cualquier tipo de inecuaciones o desigualdades.
Reglas fundamentales y simbología:
A diferencia de las ecuaciones, en las que es indiferente leerlas de izquierda a derecha o viceversa, puesto que su signo “ = ” se lee siempre de la misma forma, en las inecuaciones, elsímbolo de inecuación tiene lectura distinta dependiendo del lado desde el que se lea. La siguiente tabla puede aclarar:
Lectura de izquierda a derecha 2x = 8 3x < 6 x+2 ≤ 3 5 > 1+2x Lectura de derecha a izquierda
dos equis es igual a ocho ocho es igual a dos equis tres equis es menor que seis seis es mayor que tres equis equis más dos es menor o igual que tres tres es mayor o igual que equismás dos cinco es mayor que uno más dos equis uno más dos equis es menor que cinco cinco equis es mayor o igual que equis equis cuadrado es menor o igual que 2 5x ≥ x cuadrado cinco equis dos es menor que equis, y equis es seis es mayor o igual que equis y equis 2 0
( -1 0
+
) 0 0
-
-
1 0
La solución de la inecuación - 2x4 + 2x3 + 2x2 - 2x > 0, es: x
Para la inecuación: - 2x4 +2x3 + 2x2 - 2x ≤ 0
] -1 0
+
[ 0 0
-
-
1 0
La solución de la inecuación -2x4 + 2x3 + 2x2 - 2x ≤ 0, es: x
Para la inecuación: -2x4 + 2x3 + 2x2 - 2x < 0
) -1 0
+
( 0 0
)( 1 0
-
La solución de -2x4 + 2x3 + 2x2 - 2x ≤ 0, es: x
Ejemplo 4: Resuelve la siguientes inecuaciones “raras”: a) b) x2 - 6x + 9 , ≥ 0 - 2x2 - 4x - 5 , ≥ 0
Nótese que vamos a resolver cadauna de esas cuatro inecuaciones con el trabajo que se requiere para resolver una. Pues como ya hemos argumentado anteriormente, el trabajo esencial para resolver una inecuación es construir la tabla de signos, y una vez que esta está construida, es válida para resolver
cualquier otra inecuación en la que solo cambia el símbolo de la desigualdad con respecto a la original. a) Si resolvemos laecuación x2 - 6x + 9 = 0 se tiene como solución doble x = 3, con lo cual la recta real queda dividida en dos regiones distintas y la tabla de signos queda de la siguiente forma:
+
3 Por tanto la solución de la inecuación: x2 - 6x + 9 ≥ 0 es x x - 6x + 9 > 0 es x x - 6x + 9 < 0 es x x - 6x + 9 ≤ 0 es x
2 2 2
+
óx
\
{3} ó x
es decir no tiene solución real. {3}
b) Si resolvemos laecuación - 2x2 - 4x - 5 = 0 se tiene que: x= .
Lo cual significa que la parábola que tiene asociada la expresión cuadrática y = - 2x2 - 4x - 5 no tiene puntos de corte con el eje OX, con lo cual sólo pueden ocurrir uno de los siguientes casos: Que o bien dicha parábola tenga su gráfica siempre por encima del eje OX, o bien que tenga su gráfica siempre por debajo del eje OX. Para decidir cuál delas dos situaciones es la que nos trata, basta con identificar el término director a = - 2, lo que indica que la parábola abre sus ramas hacia - luego está por debajo del eje OX. Una forma más general de comprobarlo, hubiera sido estudiar el signo de un número real cualquiera. Teniendo en cuenta que el signo que nos proporcione este candidato, coincidirá con el de cualquier otro.
Si x = 0 →¿signo de – 2(0) – 4·(0) - 5? → signo de – 5 = –
2
Como no existe solución real, la recta real queda dividida únicamente en una región distinta y la tabla de signos queda de la siguiente forma:
–
Por tanto la solución de la inecuación:
- 2x2 - 4x - 5 ≤ 0 es x - 2x2 - 4x - 5 < 0 es x - 2x2 - 4x - 5 > 0 es x - 2x2 - 4x - 5 ≥ 0 es x
óx óx es decir no tiene solución real. es decir no tienesolución real.
Tipo 2.- Inecuaciones RACIONALES: 1º) Se escribe la inecuación a resolver. 2º) Se escriben las ecuaciones formadas al igualar a cero el numerador y el denominador. 3º) Se resuelve estas ecuaciones. 4º) Se representan en la recta real la/s soluciones de dichas ecuaciones. De modo que si las ecuaciones tienen: 2 soluciones distintas, la recta real queda dividida en 3 regiones...
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