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Trabajo
Función recíproca


Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ –1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ –1 lleva 3 de vuelta en a.
En matemáticas, si f es una aplicación o función quelleva elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f -1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la aplicación inversa orecíproca de f.
Contenido
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• 1 Definiciones formales
o 1.1 Definiciones alternativas
• 2 Propiedades algebraicas
• 3 Propiedades analíticas de funciones reales de una variable
o 3.1Continuidad
o 3.2 Grafico de la función inversa
o 3.3 Derivabilidad
• 4 Ejemplos

Definiciones formales
Sea f una función real inyectiva, cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente odecreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, la función recíproca o inversa de f, denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla:Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:
• y
• .
De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la funcióninversa, como muestra la siguiente definición alternativa.
Definiciones alternativas


Dadas dos aplicaciones y las propiedades:
1. y
2. ,
entonces:
• Si se cumple 1) entonces f es inyectivay g sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la izquierda de f.
• Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la derecha de f.
• Si se cumplensimultáneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f.
Este último punto se usa con frecuencia como definición de función inversa. sisi
Propiedades algebraicas


Inversión delorden en la composición de funciones.
• La recíproca de la composición de dos funciones viene dada por la fórmula

Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino...
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