Ingeniero

´ Capıtulo

20 Integraci´n num´rica o e

Introducci´n o
En este cap´ ıtulo nos ocupamos del c´lculo aproximado de integrales definidas de la a forma
b

I=
a

f (x) dx

donde f se supone una funci´n continua en [a, b]. o Este problema se puede resolver de modo exacto a partir de una primitiva de f . Si se dispone de una funci´n F (sencilla de evaluar) tal que F (x) = f (x) para todo x∈ (a, b), o sabemos que I = F (b)−F (a) y el problema est´ resuelto de modo exacto. Pero es conocido a 2 que muchas funciones, incluso de aspecto “inofensivo” como e−x , sen(x2 ), . . ., no admiten una primitiva expresable en t´rminos de funciones elementales. Cuando f es una funci´n e o con esta caracter´ ıstica, o bien cuando no se dispone de una expresi´n expl´ o ıcita para f , sino s´lo de unatabla de valores, es necesario recurrir a m´todos de c´lculo aproximado, o e a denominados f´rmulas de cuadratura num´rica, que consisten, en general, en aproximar I o e
n

por una suma del tipo
i=0

ai f (xi ).

Existe una gran cantidad de estos m´todos, desarrollados pensando en problemas dise tintos. Dadas las limitaciones de este texto, s´lo pretendemos aqu´ presentar la posibilidad o ıde la integraci´n num´rica, incluyendo alguno de los m´todos m´s conocidos, concretao e e a mente el m´todo del trapecio o regla del trapecio (simple y compuesta) y el m´todo de e e Simpson o regla de Simpson (simple y compuesta). Para un estudio m´s detallado el lector puede dirigirse a un texto espec´ a ıfico de An´lisis a Num´rico. e

1. M´todos de Newton-Cˆtes e o
Los m´todos discutidos enesta secci´n se basan en la idea de interpolar la funci´n f e o o
b

por una funci´n polin´mica Pn y aproximar I por o o
a

Pn (x) dx.

Naturalmente, el m´todo ser´ exacto cuando f sea un polinomio de grado menor o e a igual que n. Las f´rmulas que daremos ser´n s´lo las llamadas “cerradas”, esto es, los extremos o a o del intervalo de integraci´n forman parte del conjunto de puntos deinterpolaci´n. o o

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Cap´ ıtulo 20. Integraci´n num´rica o e

1.1. M´todo del trapecio e El m´todo o regla del trapecio consiste e en tomar la aproximaci´n o
b

f (x) dx ≈
a

h f (a) + f (b) 2

donde h = b − a (v´ase figura 20.1). e Fig. 20.1 Notas: 1) La f´rmula se obtiene integrando el polinomio de interpolaci´n de f en los puntos o o (a, f (a)), (b, f (b)). Por ello,naturalmente, cuando f (a) y f (b) son positivos, la aproximaci´n obtenida es el ´rea del trapecio de v´rtices (a, f (a)), (b, f (b)), (b, 0) y (a, 0). o a e 2) V´ase una aplicaci´n de este m´todo en el problema resuelto 2, apartado a). e o e 1.2. Teorema Si f ∈ C 2 [a, b] existe ξ ∈ (a, b) tal que h3 h f (a) + f (b) − f (ξ) 2 12 a Nota: La demostraci´n de este resultado es el contenido del problema resuelto1. o f (x) dx = 1.3. Corolario
b a b

Si |f (x)| ≤ M para todo x ∈ (a, b), entonces una cota del error cometido al aproximar h3 f (x) dx por la regla del trapecio es M . 12

1.4. Regla de Simpson El m´todo o regla de Simpson consiste e en aproximar
b

f (x) dx ≈
a

h f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 ) 3

b−a , x0 = a, x1 = a + h y 2 x2 = b (v´ase figura 20.2). e donde h = Fig. 20.2 Notas: 1)Esta f´rmula se obtiene integrando el polinomio interpolador de f en los puntos x0 , o x1 y x2 , es decir aproximando la funci´n f por un arco de par´bola. o a 2) V´ase una aplicaci´n de este m´todo en el problema resuelto 2, apartado b). e o e

Integraci´n num´rica compuesta o e 1.5. Teorema Si la funci´n f ∈ C 4 [a, b] existe ξ ∈ (a, b) tal que o
b

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f (x) dx =
a

h h5 f (x0 ) +4f (x1 ) + f (x2 ) − f (4) (ξ) 3 90

1.6. Corolario Si |f (4) (x)| ≤ M para todo x ∈ (a, b), entonces una cota del error cometido al aproxib M h5 f (x) dx por la regla de Simpson es . mar 90 a Notas: 1) Puesto que el error se expresa en t´rminos de la derivada cuarta de f , se concluye que e la regla de Simpson es exacta para polinomios de grado menor o igual que tres, pese a haberse...