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Capítulo 1

Introducción
1.1. Números reales. Propiedades
1.1.1. Necesidad de los números reales
El conjunto de números más sencillo es el de los naturales, es decir, los números que utilizamos para contar. Se denotan con la letra N. N := {1, 2, 3, . . . } . Algunos matemáticos consideran que el cero también debería ser considerado natural; esto no tiene mayor importancia, es una simplecuestión de denición. Si a los naturales les añadimos el cero y los números negativos obtenemos el conjunto de números enteros, que se representan con la letra Z. Z := {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } . Obsérvese que siempre que sumemos o restemos dos números enteros el resultado también será un entero, cosa que no sucede con N. Los números racionales (también llamados fracciones o quebrados)son cocientes de dos enteros. Se representan con la letra Q. p , p, q ∈ Z, q = 0 . Q := q Tenemos que pedir que el denominador sea distinto de cero porque no se puede dividir entre cero. En cualquier otro caso, el cociente de dos números racionales siempre es otro número racional. Obsérvese que Z ⊂ Q ya que todo número entero p se puede ver como una fracción: p = p . Los números racionalestambién se pueden ver como 1 decimales: 3 7 10 = 1,5 = 2,333 . . . = 2,0 2 3 5 pero siempre estos decimales son nitos o periódicos. Por último, los√ números reales son necesarios para poder efectuar operaciones como las raíces cuadradas, cúbicas, etc. Por ejemplo, 2 = 1,4142 . . . no es ningún número racional. Los números reales se representan con la letra R y se pueden pensar como el conjunto de todoslos números decimales, incluidos los que tienen innitos decimales no periódicos. Podemos representar R como los puntos de una recta (ver gura 1.1).

−4

−5 2

√ − 2

0

1

2

π

Figura 1.1: La recta real Tenemos entonces la siguiente cadena de inclusiones:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
1

1.1.2. Relación de orden. Desigualdades
Los números reales están ordenados de menor a mayor; sinembargo, este orden no es secuencial como el de N, esto quiere decir que, dado un número real, no podemos encontrar el anterior o el siguiente. ¾Cuál es el número siguiente al 2?, o ¾cuál es el anterior al 1 ? 2 Los símbolos que se utilizan para expresar relaciones de orden son:

< menor que, ej.: 2 < 3 ≤ menor o igual que, ej.: 3 ≤ 3, 2 ≤ 3 > mayor que, ej.: 4 > 3 ≥ mayor o igual que,ej.: 4 ≥ 4, 4 ≥ 3
Grácamente, a < b quiere decir que a está a la izquierda de b en la recta real. Nota: Obsérvese que el angulito siempre está del lado del número más pequeño. constante a ambos lados de una desigualdad, ésta no cambia de sentido:

¾Cómo compatibilizar la relación de orden con la suma y el producto? Si sumamos o restamos una
2 ≤ 3 ⇒ 2 − 2 ≤ 3 − 2 ⇒ 0 ≤ 1.
Si multiplicamos odividimos ambos miembros de una desigualdad por un número positivo, se conserva el sentido de la desigualdad: 2 ≤ 3 ⇒ 2 · 3 ≤ 3 · 3 ⇒ 6 ≤ 9. ½OJO!: Si multiplicamos o dividimos por un número negativo, ½la desigualdad cambia!:

2 ≤ 3 ⇒ 2 · (−2) ≥ 3 · (−2) ⇒ −4 ≥ −6 .

1.1.3. Intervalos
Para a, b ∈ R, con a ≤ b, hay cuatro tipo de intervalos de extremos a, b:

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b},intervalo abierto [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}, intervalo cerrado (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}, intervalo semiabierto por la izquierda [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}, intervalo semiabierto por la derecha
También podemos hablar de intervalos innitos:

(a, ∞) = {x ∈ R : a < x}, (−∞, a) = {x ∈ R : x < a},
cerrados en el innito.

[a, ∞) = {x ∈ R : a ≤ x}, (−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a} .

Nota:Como ∞ y −∞ no son números reales, (son meros símbolos) no podemos considerar intervalos innitos Nota: Si a = b entonces el intervalo cerrado [a, b] = {a} = {b}; todos los demás intervalos de extremos a y b se
reducen al conjunto vacío ∅.

Ejemplo 1. Encuentra el conjunto de números reales x que satisfacen 2 − x < 3x + 10. Solución: Pasamos los términos que tienen x a un mismo lado y...