Integracion Por Partes

I
INTEGRACIÓN POR PARTES
Este método permite resolver un gran número de integrales no inmediatas.
1. Sean u y v dos funciones dependientes de la variable x; es decir, u = f(x),
v = g(x).
2. La fórmula de la derivada de un producto de dos funciones, aplicada a f(x) · g(x), permite escribir,
d(f(x) · g(x)) = g(x) · f'(x)dx + f(x) · g'(x)dx
3. Integrando los dos miembros,dfx*gx=gx*f´x+fx*g´(x)dx
De la misma manera que dx=x, también dfx*gx=fx*g(x)
Por tanto, f(x)*g(x)=gx*f´xdx+fx*g´xdx. De aquí se obtiene que:
fx*g´xdx=f(x)*g(x) - gx*f´(x)dx
Ésta no es la fórmula usual de la integración por partes. Puesto que u = f(x), du = f'(x)dx, y al ser v = g(x), dv = g'(x)dx. Llevando estos resultados a la igualdad anterior,
u dv=u*v-v du

Cómo se resuelve una integral por partesEste método consiste en identificar u con una parte de la integral y dv con el resto, con la pretensión de que al aplicar la fórmula obtenida, la integral del segundo miembro sea más sencilla de obtener que la primera. No hay, y éste es el mayor problema de este procedimiento, una regla fija para hacer las identificaciones más convenientes. La resolución de un buen número de problemas es el mejorcamino para adquirir la técnica necesaria.
No obstante, se suelen identificar con u las funciones de la forma xm si m es positivo; si m es negativo, es preferible identificar con dv a xmdx. También suelen identificarse con u las funciones ln x, arc senx, arc tg x y con dv, exdx, sen x dx, cos x dx, etc.
Antes de empezar a practicar este método se ha de tener presente que al hacer laidentificación de dv, ésta debe contener siempre a dx.

Ejemplos: integración por partes
(1) lnx dx
Solución:
Éste es uno de los casos más sencillos; la integral consta de una sola función,
ln x.
* Haciendo u= ln x, y diferenciando, du= 1x dx
Necesariamente dv = dx. Integrando ambos miembros, dv= dx. Es decir, v = x.
* Aplicando la formula, lnx dx = x ln x – x* 1x dx=xlnx-x+C

(2) sen2x dx
Solución:
Se puede resolver efectuando cambios distintos:
(a)
* La identificación, en este caso, puede ser u = sen x y dv = sen x dx
* De u = sen x se deduce, diferenciando, que du = cos x dx.
* De dv = sen x dx, integrando, dv = sen x dx, es decir, v = - cos x
* Aplicando la fórmula, u dv=u*v-v du,
sen2x dx=sen x(-cosx)-(-cosx)cosx dx= - sen x * cos x + cos2 x dxPuesto que cos2 x=1- sen2 x,
sen2x dx=- sen x cosx+(1-sen2 x) dx = - sen x cos x + dx - sen2 x dx
sen2 x dx = - sen x cos x + x - sen2 x dx
Al volver a obtener en el segundo miembro la integral de partida puede llegarse a la conclusión de no haber avanzado en el propósito de calcular la integral. No es así en este caso, pasando al primer miembro - sen2 x dx, se obtiene
2 * sen2 x dx = x – sen xcos x. Y pasando el 2 al Segundo miembro,
sen2 x dx = x-sen xcosx2+ C
(b)
* Esta integral admite también la identificación u = sen2x, dv = dx
* Diferenciando u, du = 2 sen x cos x dx = sen 2x dx
* Aplicando la fórmula de integración por partes,
sen2x dx = sen2 x*x-x sen 2x dx 1
Y aquí es necesario volver a integrar por partes x*sen 2x dx
* Si u = x, du = dx.
Si dv = sen 2xdx, v = sen 2x dx=12 * 2*sen 2x dx = - 12cos2x
x*sen 2x dx = - 12 xcos2x- -12*cos2x dx=
= - 12 xcos2x+ 12 cos2x dx=
= - 12 x cos 2x + 12 * 12 2cos2x dx=
= - 12 x cos 2x + 14 sen 2x
* Volviendo a la igualdad (1)
sen2 x dx= x sen2 x + x2cos2x- 14 sen 2x+ C
No hay que dejarse engañar por la apariencia de que los resultados que se han obtenido son distintos; en realidad son iguales. Si en lasegunda expresión se sustituye cos 2x por su valor, cos2x - sen2 x, y sen 2x por el suyo, 2sen x cos x, se obtiene:
x sen2 x+ x2 cos2 x- sen2 x- 14 * 2 * sen x cos x =
= x sen2 x+ x2 cos2x - x2 sen2 x - 12 sen xcosx=
= x2 (sen2 x+ cos2 x) - 12 sen x cos x =
= x2 * 1 - 12 sen xcosx= x-sen xcosx2
(3) arc sen x dx
Solución:
* La identificación obligada es u = arc sen x; así du = 11-...